1T 2014 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1:

$2,5 \cdot 10^{15} \cdot 3,0 \cdot 10^{-5} = 7,5 \cdot 10^{15+(-5)} = 7,5 \cdot 10^{10}$

Oppgave 2:

$9^{ \frac12}\cdot 6^0 \cdot 4^{-1} \cdot \sqrt[3]{8^2} = \\ (3^2)^{\frac12} \cdot 1 \cdot \frac 14 \cdot \sqrt[3]{2^6} = \\ \frac34 \cdot 2^2 = 3$

Oppgave 3:

$2^{2-x} \cdot 2^{1+2x} =32 \\ 2^{2-x+1+2x} = 2^5 \\ 3+x=5 \\ x=2$

Oppgave 4:

$x^2 +8x +c \\$ Vi har at $a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2$

Dvs: c = $4^2 = 16$

Oppgave 5:

<math> \left[ \begin{align*}2x-3y=-7 \\ 3x-y=7 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} y=3x-7 \\ 2x -3(3x-7) = -7] \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 2x-9x + 21 = -7 \\ - 7x = - 28 \\ x= 4 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 3x-y=7 \\ 12 - y =7\\ y=5 \end{align*}\right] </math>

$ x = 4 \wedge y = 5$

Oppgave 6:

$\frac {6}{x-3} - \frac {5x+15}{x^2-9}+ 1= \\ \frac{6}{x-3} - \frac {5(x+3)}{(x+3)(x-3)}+ \frac {x-3}{x-3} = \\ \frac {6-5+ x - 3 }{x-3}= \\ \frac {x-2}{x-3}$

Oppgave 7:

a)

b)

P(eldre men ikke yngre søsken) = $ \frac {5}{25} = \frac 15$

c)

P(yngre søsken gitt eldere søsken) = $\frac {10}{15}= \frac{2}{3}$

Oppgave 8:

Oppgave 9:

$f(x)= x^2+2x-3$

a)

Nullpunkt: $f(x)=0 \\ x^2+2x-3 = 0 \\ x= \frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \cdot (-3)}}{2} \\ x= \frac{-2 \pm 4}{2} \\x= -3 \vee x= 1$

Nullpunktene er (-3, 0 ) og (1, 0).

b)

$f´(x) = 2x+2 \\f´(x)=2 \Rightarrow x = 0 $

Tangeringspunkt. ( 0 , f(0) ) som er (0, -3)

Likning for tangenten:

$y = ax+b \\ -3 = 2 \cdot 0 -3 \\ b = -3 \\ y=2x-3$

Den siste utregningen kunne vi sløyfet i dette tilfellet, siden vi vet at tangeringen skjer på y aksen (x = 0).

c)

Dette er del en, så du må tegne for hånd. Lag verditabell. Du må også markere hva som er x-akse og y-akse.

Oppgave 10:

$f(x) = x^2+bx+c $

Grafen skjærer y - aksen i (0, 4), dvs. f(0) = 4, altså er c = 4.

Funksjonen f har ett nullpunkt, dvs: $ b^2 - 4ac = 0 \\ b= \pm 4 \\ f(x)= x^2-4x+ 4 \vee f(x)= x^2+ 4x+ 4 $

DEL TO

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra og finner at den lineære funksjonen som passer best med de oppgitte data er :

y = 0,83x + 2,31

x er antall uker etter treningsstart.

b)

Avlesning av Grafen i a gir ca. 23 km.

c)

Avlesning av grafen i a viser at det skjer den niende treningsuken.

Oppgave 2

a)

b)

$f(x)=0,0017x^3-0,13x^2+2,3x+72$

Fra funksjonsuttrykket ser man at f (0) = 72. Dvs. han veide 72 kg. den 1. jan 2013.

c)

Fra figuren der man at han veide over 70 kg. fra uke 1 til 30 og fra uke 47 til 52, altså ca. 35 uker av året.

d)

Fra Figuren i c ser man at han veide mest i uke 11, nesten 84 kg. Han veide minst i uke 39, da i underkant av 65 kg. Dersom man forholder seg til tallene over er det et vekttap på 19kg. over 28 uker. Det gir et vekttap på ca. 680 gram per uke.

e)

Svarene gir oss den momentane vektendringen i uke 3 og i uke 25.

Oppgave 3

Oppgave 4

a)

H: Trekker hvit kule

R: Trekker rød kule

b) P(to hvite og én rød) = $P(R, H, H) + P(H, R, H) + P(H, H, R) = 3 \cdot \frac{2}{13}= \frac{6}{13}$

Oppgave 5

De to delene som skal være like lange har lengde x. Vi har da 2x. Den tredje delen er dobbelt så lang som de to like, til sammen, altså er del tre lik 4x. Del fire er dobbelt så lang som del tre, altså 8x.

Vi får da:

$2x + 4x + 8 x = 35cm \\ 14x= 35cm \\ x = 2,5 cm$

De to like stykkene er 2,5 cm hver. Det tredje stykket er 10 cm. Det fjerde stykket er 20 cm.

Oppgave 6

Vi må først finne en vinkel. Til det bruker vi cosinussetningen. Når vi har en vinkel kan vi bruke arealsetningen.

Oppgave 7

a)

$AB = 3,0 \cdot cos 52^{\circ} = 1,85$

Båten ligger 1,85 meter fra brygga.

b)

Ny vannstand:

$AC = 3,0 \cdot sin 52^{\circ} + 0,30 m = 2,66 m $

Bruker Pytagoras og finner ny avstand mellom båt og brygge:

$AB = \sqrt{3^2 - 2,66^2} = 1,40 $

Båten ligger nå 1,40 meter fra brygga.

Oppgave 8

a)

Omkretsen er summen av de tre sidene.

AB = 8

$BC = \sqrt{x^2 + 36}$ (pytagoras)

$AC = \sqrt{(8-x)^2 +36} = \sqrt{64-16x +x^2 + 36} = \sqrt{x^2-16x+100}$

Dersom man legger sammen disse tre uttrykkene får man omkretsfunksjonen f, slik den er gitt i oppgaven:

$f(x) = AB + BC + AC = 8 +\sqrt{x^2 + 36} +\sqrt{x^2-16x+100}$

x må ligge mellom 0 og 8 fordi AB = 8.