Asymptote

En rett linje som grafen til f(x) nærmer seg når x går mot en bestemt verdi eller <tex> \pm \infty </tex>. En graf kan godt krysse en asymptote. Vi har vertikale og horisontale (eller skrå) asymptoter.

Figuren viser grafen til funksjonen <tex>f(x)= \frac{x-1}{x-2}</tex>

Vi ser at grafen har en vertikal asymptote for x = 2 og en horisontal asymptote for y = 1.

Vertikal asymptote

Dersom f (x) går mot pluss / minus uendelig når x nærmer seg et tall a fra den ene eller andre siden (eller begge) så er linjen X = a en vertikal asymptote for f. Dette kan formuleres slik:

<tex> \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty \quad \quad \quad \lim_{x \to a^-} f(x)= \pm \infty </tex>

I eksempelet over er a = 2.

Horisontal (og skrå) asymptote

For å finne den horisontale asymptoten må vi undersøke hva som skjer med verdien av f (x) når x går mot ± uendelig. Dette skrives slik:

<tex> \lim_{x \to \infty} f(x)= k \quad \quad \quad \lim_{x \to - \infty} f(x)= k </tex>

Dette leses "grenseverdien til f (x) når x går mot pluss / minus uendelig". Dersom et eller begge kriteriene er oppfylt er linjen y = k en horisontal asymptote for f.

For å kunne se hva f går mot når x går mot ± uendelig kan det være nødvendig å foreta en polynomdivisjon. Dersom <tex>f(x)= \frac{h(x)}{g(x)} </tex> utfører vi divisjonen. Dersom vi gjør det med eksempelet over ser vi at f (x) kan skrives som <tex>f (x) = 1+ \frac{1}{x-2}</tex>. Nå ser vi lett at f går mot 1 når x går mot ± uendelig.

Når teller og nevner er av samme orden blir asymptoten en horisontal linje. Dersom telleren h (x) er en orden over nevneren får vi en skrå asymptote. Dersom vi har funksjonen <tex>f (x)= \frac{3x^2 + 2x -5}{x} </tex>og utfører divisjonen ser vi at den kan skrives som <tex>f (x)= 3x + 2 - \frac 5x</tex>. Vi ser at når x går mot ± uendelig går f mot den rette linjen 3x + 2. Grafen ser slik ut:

---