Praktiske problemer der differensiallikninger er løsningen
Newtons 2. lov og svingninger
Nevtons andre lov sier at kraft er lik masse multiplisert med akslerasjon.
F = ma
Dersom en kloss som ligger på et friksjonsfritt horisontalt underlag blir opphengt i en fjær og gies en horisontal
pendelbevegelse virker Kraften alltid virke mot bevegelsesrettning.
Hooks lov:
F = -kx
k er fjærkonstanten.
Vi får:
<tex>\frac{d^2x}{dt^2} = -kx </tex> som gir <tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0</tex> Ved å innføre <tex>\omega =\sqrt{\frac{k}{m}</tex> får vi <tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0</tex>
som er identisk med
<tex>y^{,,} + \omega^2x = 0</tex>
Naturlig vekst
Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som
<tex>\frac{dx}{dt} = kx </tex>
der k er en konstant.
Man får
<tex>\frac{dx}{x} = kdt \\ \int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \\ ln|x| = kt +C \\ x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</tex>
A er kontstanten eC og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x0
Altså:
<tex>x= x_0e^{kt}</tex>
Dersom k > 0 har man en vekstsituasjon.
Dersom k < 0 har man en situasjon der en størrelse avtar, foreksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale:
<tex>\frac{dN}{dt} = -kN</tex>
<tex>N(t) = e^{-kt}</tex>
k er isotipavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).
Newtons avkjølingslov ( og oppvarming)
Hvordan går det egentlig med et legeme med romtemperatur, når den slippes i kokende vann?
Den mometane temperaturendringen er
T(t) - er spikerens temperatur ved tiden t.
Tomg - er omgivelsenes temperatur, altså spikerens omgivelser, i dette tilfellet 100 grader.
T(0) - er spikerens temperatur i det den blir sluppet i vannet, ved tiden t = 0.
Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <tex>\frac{dT}{dt} </tex>
er proporsjonal med differeansen mellom T(t) og Tomg, dvs:
<tex>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</tex>
Her har man to muligheter:
Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en avkjølingssituasjon. Da er
<tex>\frac{dT}{dt} </tex> negativ. Det gir: <tex>
(T(t) - T_{omg}) > 0</tex>
Dersom <tex>\frac{dT}{dt} </tex> er positiv har man en oppvarmingssituasjon: Da er
<tex>T(t) - T_{omg} < 0 </tex>
Det gir Newtons lov for avkjøling:
<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</tex>
Eks 8:
En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C. Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C. Under denne temperatur er det vanskelig å forme. Smeden har fra tidligere erfaringer funnet ut at metallet avkjøles med 100 grader de første 15 minuttene. I rommet der arbeidet foregår er det 23°C.
Hvor lang tid har smeden på bearbeidingsprosessen?
Løsning:
Newtons lov for avkjøling sier:
<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}</tex>
I dette tilfellet gir det:
<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 23) \\ \frac{dT}{dt} = k(23 - T(t))\\ \int \frac {1}{23 - T(t)})dT = \int(k)dt \\ - ln (23 - T(t)) = kt + C \\ 23 - T(t) = e^{-(kt + C)} </tex> <tex>23 - T(t) = C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \\
T(t) = 23 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} </tex>
Man har oppgitt:
T(0) = 800C
23 - 500 = C_2
C_2 = -477
T(t) = 477 e^{-kt}
Hva er k?
k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,
samt omgivelsenes tetthet / varmelednigsegenskaper mm.
For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:
<tex>T(15) = 400C \\ 400 = 477 e^{-15t} \\ ln( \frac {400}{477}) = -15k \\ k = 0,011737 </tex>
Det gir funksjonen for avkjøling:
<tex>
T(t) = 477 e^{-0,011737t}</tex>
Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstyket hans går under 150?
<tex>150 = 477 e^{-0,011737t}</tex>
t = 99 min
Hvordan går det så med spikersuppen? Dersom du skal regne på eksemplet må du lage forutsettninger som i eksemplet med smeden.