R1 2024 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag fra Lektor Seland

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=4x^2\cdot ln(3x)$

$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x^2 \cdot \frac{1}{3x}\cdot 3$

$f'(x)=8x\cdot ln(3x) + 4x$

Oppgave 2

$(ln\,x)^2-lnx=6$

Setter $u=ln\,x$

$u^2-u-6=0$

$(u+2)(u-3)=0$

$u=-2 \vee u=3$

$ln\,x=-2 \vee ln\,x=3$

$x=e^{-2}\vee x=e^3$

$x=\frac{1}{e^2}\vee x=e^3$

Oppgave 3

\[f(x)=e^{-x+1},\,D_f=\mathbb{R}\]

\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x+1}=e^{-\infty}=\frac{1}{e^{\infty}}=0\]

\[ \lim_{x\to -\infty} e^{-x+1}=e^{\infty}=\infty\]

Den siste grenseverdien går mot uendelig og eksisterer derfor ikke.

Oppgave 4

$A(3,4), \,B(-1,-2),\, C(3+t,2t)$ der $t\in\mathbb{R}$

a)

Bestemmer stigningstallet fra A til B:

$a=\frac{4-(-2)}{3-(-1)}=\frac 64=\frac 32$

Stigningstallet fra A til C (eller B til C) skal være det samme.

$\frac{2t-4}{3+t-3}=\frac 32$

$\frac{2t-4}{t}=\frac 32$

$4t-8=3t$

$t=8$

(Kunne også brukt at $\vec{AC}=k\cdot\vec{AB}$, som er litt mer "R1")

b)

Skalarproduktet mellom vektorene som utspenner en 90 graders vinkel, skal være null.

$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=0$

$[3+t-3,2t-4]\cdot[3+t-(-1),2t-(-2)]=0$

$=[t,2t-4]\cdot[t+4,2t+2]=0$

$(t^2+4t)+(4t^2-4t-8)=0$

$5t^2-8=0$

$t=\pm\sqrt{\frac 85}$

Oppgave 5

Vi endrer funksjons definisjonsområde til at 2 ikke er med i definisjonsmengden. :

\[ f(x) = \begin{cases} \quad \quad x,\quad 0\leq x <2 \\ \, 5-x,\quad 2<x\leq 5 \\ \end{cases} \]

Vi har ivaretatt alle kravene:

$\bullet$ Verdimengden er uendret.

$\bullet$ Definisjonsmengden er så stor som mulig (uten å endre verdimengden)

$\bullet$ f er kontinuerlig. Vi sier at f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig for alle $a\in D_f$. Siden funksjonen f ikke er definert i punktet 2, så er f kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden.

For nærmere forklaring, se s.129-131 i Aschehougs bok "Matematikk S1".

DEL 2

Oppgave 1

Bruker CAS i Geogebra. Oppgaven kan også løses grafisk i Geogebra.

a)

Det tar 8,8 dager før 100 elever er smittet (linje 2 i CAS).

b)

Flest elever blir smittet etter 11,1 dager. Da blir 22,5 elever smittet per dag (linje 3-5 i CAS).

c)

S har to asymptoter; y = 0 og y = 300 (linje 6 i CAS). Det angir henholdsvis minimum og maksimum antall smittede. Det var 0 smittede før epidemien, og det stopper på 300 smittede.

Oppgave 6

a)

Lars prøver å finne ut størst mulig areal av det innskrevne rektangelet ABCD.

Svaret blir ca. 3,08 hvis man kjører programmet, som betyr at det største mulige arealet til rektangel ABCD er 3,08.

b)

Lars bruker definisjonen av den deriverte til å regne ut tilnærmet verdi av den deriverte i et punkt på funksjonen for areal av rektangelet (gitt i linje 4-5). Programmet gjør dette ved å regne ut stigningstallet i et veldig lite intervall (bredde 0,0001) på areal-funksjonen (linje 8-9).

Programmet starter med å beregne den deriverte i x=0. Så lenge den deriverte av areal-funksjonen er større enn 0, altså areal-funksjonen er voksende, fortsetter programmet å regne den deriverte i neste lille intervall (x øker med 0,01 for hver runde). Når den deriverte ikke lenger er større enn 0, vil man ha funnet en tilnærmet x-verdi for toppunktet. Programmet skriver til slutt ut y-verdien i toppunktet av areal-funksjonen, altså det største mulige arealet til ABCD.

Hvis målet er å finne toppunktet til en hvilken som helst funksjon, vil ikke strategien fungere dersom funksjonen ikke har noe toppunkt, og strategien vil heller ikke fungere hvis funksjonen er synkende fra x=0.

Oppgave 7

Pyramiden har størst volum dersom hjørnene i grunnflaten går helt ytterst til halvkulens overflate, og dersom høyden også går helt til halvkulens overflate.

Bruker CAS i Geogebra.

I linje 1 finner vi lengden på siden til grunnflaten. Svaret på linje 1 hadde endret seg da skjermbildet ble tatt, men det sto opprinnelig sammen uttrykk for s som defineres i linje 2.

I linje 3 beregnes arealet av grunnflaten.

I linje 4 defineres høyden h til å være lik radiusen r.

Volumet til den største mulige pyramiden er $V=\frac{2}{3}r^3$ (linje 5)