1T 2021 høst LK20 LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

Vet at stigningstallet for begge linjene er det samme, nemlig -2, siden linjene er parallelle.

Bruker ettpunktsformelen, hvor $x_1=5, y_1=-6, a=-2$

$y-y_1=a(x-x_1)$

$y-(-6)=-2(x-5)$

$y+6=-2x+10$

$y=-2x+10-6$

$y=-2x+4$ er likningen for linjen m.

Oppgave 2

Tegner en hjelpetrekant.

Vet at $cos A = sin A = \frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$ og siden $AB=4$, har vi $AC=8$

Oppgave 3

Skal løse likningen $x^3+2x^2-7x+4=0$

Ser at x=1 er en løsning til likningen. Sjekker at det stemmer:

$1^3+2\cdot 1^2-7\cdot 1+4=1+2-7+4=0$

Det stemmer at x=1 er en løsning, og dermed er (x-1) en faktor. Bruker polynomdivisjon for å faktorisere resten av uttrykket.

$\quad(x^3+2x^2-7x+4):(x-1)=x^2+3x-4$

$-(x^3-x^2)$

_____________________________

$\quad\quad\quad\quad 3x^2-7x+4 $

$\quad\quad\quad -(3x^2-3x)$

_____________________________

$\quad\quad\quad\quad\quad \quad -4x+4$

$\quad\quad\quad\quad \quad -(-4x+4)$

_____________________________

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0$

Faktoriserer $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$

Faktoriserer hele uttrykket $x^3+2x^2-7x+4=(x+4)(x-1)(x-1)$

Tredjegradslikningen har to løsninger: $x=-4$ og $x=1$

Oppgave 4

Fra likning II har vi at $y=-2-x$

Setter dette inn i likning I:

$x^2+2x-(-2-x)=-1$

$x^2+2x+2+x=-1$

$x^2+3x+3=0$

Bruker andregradsformelen:

$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{-3}}{2}$

Vi får et negativt tall under kvadratroten, så denne likningen har ingen løsning. Derfor har heller ikke likningssystemet noen løsning.

Oppgave 5

DEL 2

Oppgave 1

a)

Tegner grafen til funksjonen S i Geogebra. Lager linja y=5000 og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen til S. Ser at butikken kan selge mer enn 5000 par ski fra uke 5.6 til uke 23.7 (litt over 18 uker), og fra uke 50 til 52 (2 uker). Det vil si at butikken kan selge mer enn 5000 par ski i ca. 20 uker, ifølge modellen.

b)

Lager punktet D=(30,S(30)), og tangenten til S gjennom punktet D ved å bruke kommandoen "Tangent". Finner stigningstallet til tangenten ved å bruke knappen "Stigning". Stigningstallet til tangenten til S (altså den momentane vekstfarten) i x=30 er -345. Det betyr at i starten av den 30. uken, synker antall par ski butikken vil kunne selge, med 345 par ski per uke.

Oppgave 2

a)

Dersom en bestand bestående av 500 dyr dobler seg lineært på 10 år ser funksjonen slik ut: L(x) = 50 x + 500

b)

Dersom bestanden øker eksponentielt får vi:

$E(x)= 500 \cdot 1,07^x$

c)

d)

Grafen til f viser forskjellen i estimat mellom den lineære modellen og den eksponentielle, under de gitte forutsetninger. Den største forskjellen er på ca. 50 dyr, etter ca 6 år. Den praktiske tolkningen av y= 12 er ved hvilke tidspunkt den lineære modellen estimerer 12 dyr mer enn den eksponentielle. For x = 12 får vi en funksjonsverdi nær - 26. Det må tolkes som at den eksponentielle funksjonen nå har det høyeste estimatet, og etter 12 år viser den eksponentielle funksjonen ca. 26 dyr mer enn den lineære funksjonen.

Begge funksjonene, L og E skulle doble seg på 10 år. Fra figuren i c ser man at det tar nesten 11 år før E dobler seg. Det skyldes at jeg burde tatt med en desimal til i uttrykket for vekstfaktoren.

Oppgave 3

Bruker CAS i Geogebra.

Dersom s=2 ser vi at det blir null i nevner i uttrykkene x og y. Det vil da ikke være noen løsning på likningssystemet.

Oppgave 4

Bruker CAS i Geogebra.

Monica er 19 år, og Sissel er 91 år.

Oppgave 5

Bruker CAS i Geogebra.

a)

Bruker sinussetningen.

b)

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader, så trekanten ABD er likesidet, fordi $ \angle{ADB} = \angle{DBA} = 30^o $. Vet derfor at $AB=AD=a$

Bruker cosinussetningen til å finne lengden av CD. Legger til slutt sammen lengden til alle de ytre sidene av figuren.

c)

Bruker arealsetningen i hver av de to trekantene. Legger til slutt sammen arealet i de to trekantene, og finner a når arealet av firkanten er lik $\sqrt{3}$

Forkaster det negative svaret, og har derfor at $a=-\sqrt{2}+\sqrt{6}$

Oppgave 6

a)

$y=\frac{2s-x}{s^2}=\frac{2s}{s^2}-\frac{x}{s^2}=\frac{2}{s}-\frac{1}{s^2}\cdot x=-\frac{1}{s^2}\cdot x+\frac{2}{s}$