S1 2020 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

2(3x+2)=2x(x+2)+46x+4=2x2+4x+42x2+2x=0|:(2)x2x=0x(x1)=0x=0x=1

b)

3x32=1353x+2=35x+2=5x=7

c)

lg(3x2)=2lgxlg(3x2)=lg(x2)10lg(3x2)=10lg(x2)3x2=x2x2+3x2=0|:(1)x23x+2=0(x1)(x2)=0x=1x=2

Oppgave 2

a)

4a3(a2b3)2(21)2ab4=4a3a4b622ab4=a341b64=a2b2=(ba)2

b)

1x12xx21+1=x+1(x+1)(x1)2x(x+1)(x1)+(x+1)(x1)(x+1)(x1)=x+12x+(x21)(x+1)(x1)=x2x(x+1)(x1)=x(x1)(x+1)(x1)=xx+1

Oppgave 3

x23x+20(x1)(x2)0

Nullpunkter: x=1 og x=2

x23x+20 når x[1,2]

Oppgave 4

La x være antall gullmedaljer, og y være antall sølvmedaljer.

Ix+y=16II7x+5y=102

Iy=16x

II7x+5(16x)=1027x+805x=1022x=10280x=222=11

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

P(tolike)=P((BB)(RR))=2413+2413=212+212=412=13

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er 13.

b)

La x være antall røde kuler.

P(toulike)=P((BR)(RB))=22+xx2+x1+x2+x22+x1=2x(2+x)(1+x)2=4xx2+2x+x+2=4xx2+3x+2

Setter P(toulike)<12

4xx2+3x+2<128x<x2+3x+2x2+5x2<0x25x+2>0x>5±254122x1>5+172x2>5172

Velger den positive løsningen, x1. Vi vet at 17>4, siden 16=4.

x1>5+42x1>4,5

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

3+c=0c=3

Vi lar x gå mot uendelig:

limxax+bx+climxaxx=a

Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor a=2

Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter f(x)=0

ax+bx+c=022+bx3=04+b=0b=4

Vi har a=2, b=4 og c=3.

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

2x+5y8y25x+85y0,4x+1,6

2x+y4y2x+4

2xy8y2x8

b)

Regner ut verdien til uttrykket 2x+3y i hjørnene:

Hjørnet (1,2): 21+32=2+6=4

Hjørnet (3,-2): 23+3(2)=66=12

Hjørnet (6,4): 26+34=12+12=0

Uttrykket 2x+3y kan få alle verdier i intervallet [12,4], dersom (x,y) skal ligge i M.

Oppgave 8

g(x)=x332x2

a)

g(32)=(32)332(32)2=(32)3(32)3=0

g(2)=233222=832=86=2

Gjennomsnittlig vekstfart:

y2y1x2x1=20232=20,5=4

Den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [32,2] er 4.

b)

g(x)=3x2322x=3x23x

g(2)=32232=126=6

c)

Setter g(x)=6

3x23x=63x23x6=0|:3x2x2=0(x+1)(x2)=0x1=1x2=2

g(1)=(1)332(1)2=132=2232=52

g(2)=2, som vi regnet ut i a).

A=(1,52) og B=(2,2).

Oppgave 9

a)

Vi har omkretsen til rektangelet O=2x+2y=96cm

2x+2y=96y=962x2y=48x

b)

Vi trenger et uttrykk for radiusen til sylinderen. Vi har omkretsen til sylinderen O=2πr=x

2πr=xr=x2π

Volumet av en sylinder: V=πr2h

V(x)=π(x2π)2(48x)=π(x24π2)(48x)=x24π(48x)=14π(48x2x3)

c)

V(x)=14π(96x3x2)

Setter V(x)=0

14π(96x3x2)=096x3x2=0x(963x)=0x1=0x2=963=32

Vi kan ikke ha en omkrets x=0, så vi må ha omkretsen x=32 for at volumet av sylinderen skal bli størst mulig.

Notat: andregradsleddet til den deriverte har negativt fortegn, så den deriverte er en andregradsfunksjon som vender den hule siden ned. Det vil si at V'(x) er positiv i intervallet x[0,32], så funksjonen V(x) vokser i dette intervallet, og vi vet derfor at vi har et toppunkt i x=32 (og ikke et bunnpunkt).

DEL 2

a)

Sannsynligheten for at det er sol en tilfeldig dag på Gran Canaria er 3003650,8219.

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra og velger binomisk fordeling. Velger n=14 og p=0,8219, som gir P(X14)0,064.

Agnete har antatt en binomisk fordeling av soldager. Det innebærer at:

Sannsynligheten for at det er sol en dag er den samme hver dag.

Sannsynligheten for at det er sol en dag er uavhengig av sannsynligheten for at det er sol en annen dag.

Det er enten sol eller ikke sol. Hun har ikke tatt høyde for ulike varianter av sol med skyer, sol kun på formiddagen etc.

b)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger igjen en binomisk fordeling. Velger n = 8 (antall ferier), og p = 0,064 (sannsynligheten for bare soldager i en ferie). Finner P(X2)=0,0886.

Det er 8,86 % sannsynlighet for at familien opplever bare soldager på minst 2 av sine 8 ferier på Gran Canaria.

c)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger binomisk fordeling. Velger n = 28 (4 x 7 dager), og prøver meg frem til en sannsynlighet som gir p(X22). Finner da p=0,8551.

x365=0,8551x=0,8551365312,11

Det må minst være i gjennomsnitt 313 soldager i året på dette stedet, for at påstanden fra reisebyrået skal være sann.

Oppgave 2