1T 2020 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning av LektorNilsen

DEL 1

Oppgave 1

y=2x1

Stigningstallet er 2 fordi y-verdien til funksjonen øker med 2 for hver gang x-verdien øker med 1. Konstantleddet er -1, der linjen krysser y-aksen.

Oppgave 2

6,21042,51080,0005=6,21042,51085104=6,21040,5108104=3,1104+8+4=3,11016

Oppgave 3

I.x+2y=16II.3xy=6

Ganger likning II med 2, og legger sammen likning I og II.

II.3xy=6|2II.6x2y=12

Likning I + II:

x+2y=16+(6x2y=12)7x=28x=4

Setter inn x = 4 i likning I:

4+2y=16y=1642y=6

Løsningen er x = 4 og y = 6. Du kan sjekke at det er riktig ved å sette inn disse verdiene i likning I og II, og se at likhetene stemmer.

Oppgave 4

(x+y)24xyxy=x2+2xy+y24xyxy=x22xy+y2xy=(xy)2xy=xy

Oppgave 5

4x2+kx+14=(2x)2+kx+(12)2

Uttrykket er et fullstendig dersom:

kx=±22x12kx=±2xk=±2

Oppgave 6

512418232030=5(22)1(23)235221=22222=12

Oppgave 7

lg1000lg110lg0,01lg1012=3(1)2(12)=31=3

Oppgave 8

a)

22+x212x=6422+x(12x)=2622+x1+2x=2623x+1=263x+1=6x=613x=53

b)

lg(1x23x)=110lg(1x23x)=1011x23x=110x23x=10x23x10=0(x+2)(x5)=0x=2x=5

Oppgave 9

- linjen y=2x4 vil skjære y-aksen i x = -4, det samme som grafen til funksjonen f.

- linjen y=2x4 vil øke med 2 enheter på y-aksen for hver enhet på x-aksen. Dermed krysser den grafen til funksjonen f i punktet (5,6). Du kan vise dette ved å tegne linjen og grafen til funksjonen f i samme koordinatsystem.

- Grafen til funksjonen f vil befinne seg under linjen y=2x4 når x0,5

Vi har f(x)<2x4 for x0,5

Oppgave 10

f(x)=x3+3x2+3

f(x)=3x2+6x

f(x)=33x2+6x=33x2+6x+3=0|:3x2+2x+1=0(x+1)(x+1)=0x=1

Grafen til f har bare én tangent med stigningstallet -3.

Tangenten treffer funksjonen i punktet (-1, f(-1)).

f(1)=(1)3+3(1)2+3=1+3+3=5

Likning for tangenten:

yy1=a(xx1)y5=3(x(1))y5=3x3y=3x+2

Oppgave 11

a)

P(CG)=P(C)P(G)=81079=5690=2845

Sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut er 2845

b)

P(CG)=P(C)P(G)=21019=290=145

Sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som skal lage kampoppsettet er 145

Oppgave 12

a)

Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av BC:

CB2=AB2+AC2CB=12+12CB=2

ABC er likebeint, og A=90. De to andre vinklene må derfor være 45.

Finner sin45:

sinABC=ACBCsin45=12=2122=22

Finner cos45:

cosABC=ABBCcos45=12=2122=22

Vi har vist at sin45=cos45=22

b)

Bruker arealsetningen.

A=12PQPRsinRPQA=12628sin45=32822=2422=24

Arealet av trekant PQR er 24.

c)

Brukes cosinussetningen:

QR2=PR2+PQ22PRPQcosRPQ

QR2=82+(62)22862cos45

QR2=64+36296222

QR2=64+72961

QR2=40

QR=40=410=410=210

Oppgave 13

Arealet av området er gitt ved A=xy.

Antall meter gjerde er gitt ved x+2y=1000. Bruker denne likningen til å uttrykket y ved x:

x+2y=1000y=1000x2y=x2+500

Setter inn uttrykket for y i uttrykket for arealet:

A=xyA=x(x2+500)A=12x2+500x

Arealet er nå gitt som en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Funksjonen vil følgelig ha et toppunkt. Bruker derivasjon til å finne x-verdien til dette toppunktet:

A(x)=x+500

Setter A(x)=0

x+500=0x=500

Setter inn x=500 i uttrykket for y:

y=5002+500=250+500=250

Arealet blir størst mulig når x = 500 meter og y = 250 meter.

DEL 2

Oppgave 1

a)

b)

Legger inn linja y = 92, og bruker "Skjæring mellom to objekt" for å finne skæringspunktene mellom denne linjen og grafen til P. Leser av x-verdien til skjæringspunktene A, B og C, og beregner antall minutter hvor Ole hadde høyere enn 92% av makspuls:

(3012.7)+(5047.3)=20

Pulsen til Ole høyere enn 92 % av makspuls i 20 minutter.

c)

b)