R1 2018 høst LØSNING
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
Løsningsforslag (pdf) (open source, meld fra om forbedringer eller feil her)
Løsning del 1 laget av mattepratbruker mingjun
Løsning som PDF laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
Løsning til del 1 som videoer laget av Lektor Håkon Raustøl
DEL 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=x^2+2x+e^x$
$f'(x)=2x+2+e^x$
b)
$g(x)=x^2\cdot ln \, x$
$g'(x)=2x\cdot ln \, x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\cdot ln\, x + x$
c)
$h(x)=\frac{x-1}{e^{2x+1}}$
$h'(x)=\frac{1\cdot e^{2x+1}-(x-1)\cdot 2\cdot e^{2x+1}}{(e^{2x+1})^2} = \frac{1-(2x-2)}{e^{2x+1}} = \frac{-2x+1}{e^{2x+3}}$
Oppgave 2
a)
$e^{2x}+7e^x-8=0$
Setter $u=e^x$
$u^2+7u-8=0 \\ (u+8)(u-1)=0 \\ u=-8 \vee u=1 \\ e^x=-8 \vee e^x=1 \\ x= 0$
Ikke mulig å ta ln(-8), forkaster derfor det ene svaret.
b)
$ln(x^2-5x-1)-ln(3-2x)=0 \\ ln(x^2-5x-1)=ln(3-2x) \\ x^2-5x-1 = 3-2x \\ x^2-5x+2x-1-3 = 0 \\ x^2-3x-4=0 \\ (x+1)(x-4)=0 \\ x=-1 \vee x=4$
Setter inn hvert av svarene i likningen:
$ln((-1)^2-5(-1)-1) - ln(3-2(-1)) = 0 \\ ln(5)-ln(5)=0$
$x=-1$ er en løsning.
$ln(4^2-5\cdot 4-1)-ln(3-2\cdot 4)=0 \\ ln(-5)-ln(-5)=0$
$x=4$ er ikke en løsning fordi det ikke er mulig å ta ln(-5).
Oppgave 3
Vi har vektorene $\vec{a}=[2,3]$ og $\vec{b}=[-5,3]$
a)
$2\vec{b}-3\vec{a} = 2\cdot[-5,3]-3\cdot[2,3] = [-10,6]-[6,9] = [-16,-3]$
b)
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$
$|\vec{a}|<4$ fordi $\sqrt{16}=4$, og derfor er $\sqrt{13}<4$
c)
$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\,\alpha \\ cos \,\alpha = \frac{ \vec{a}\cdot \vec{b} } { |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \\ cos \,\alpha = \frac{[2,3]\cdot[-5,3]}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{(-5)^2+3^2}} \\ cos \,\alpha = \frac{-10+9}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{34}} \\ cos \,\alpha = \frac{-1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{34}}$
Vi har $cos\,\alpha < 0$, hvilket betyr at vinkelen mellom de $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er stump.
Oppgave 4
Vi har $f(x)=x^3+6x^2-x-30$
a)
$f(2)=2^3+6\cdot 2^2-2-30 = 8+24-2-30 = 0$
$x=2$ er et nullpunkt, så divisjonen $f(x):(x-2)$ går opp.
b)
Utfører polynomdivisjonen:
Faktoriserer uttrykket:
$x^3+6x^2-x-30 = (x^2+8x+15)(x-2) = (x+5)(x+3)(x-2)$
c)
$-2\cdot f(x) \geq 0 \\ -2(x+5)(x+3)(x-2) \geq 0 $
$-2\cdot f(x) \geq 0$ når $x\in \langle \leftarrow, -5] \cup [-3,2]$
Oppgave 5
a)
Edelgran = E, Kvinne = K, Mann = M
$P(E) = P(E|M)\cdot P(M)+P(E|K)\cdot P(K) \\ = 0,60\cdot 0,70 + 0,40\cdot 0,30 = 0,42 + 0,12 = 0,54$
Sannsynligheten for at det første treet han selger en dag, er edelgran, er 0,54.
b)
$P(K|E) = \frac{P(K)\cdot P(E|K)}{P(E)} = \frac{0,30\cdot 0,40}{0,54} = \frac{0,12}{0,54} = \frac{12}{54} = \frac{2\cdot 6}{9\cdot 6} = \frac{2}{9}$
Sannsynligheten for at vinneren av lotteriet blir en kvinne, er $\frac{2}{9}$.
Oppgave 6
$2x^2-3x-2=x^2+x+3 \\ 2x^2-x^2-3x-x-2-3=0 \\ x^2-4x-5=0 \\ (x+1)(x-5)=0 \\ x= -1 \vee x=5 $
f er en kontinuerlig funksjon for $a=-1$ og $a=5$
Oppgave 7
Vi har $g(x)=x-2ln(x^2+3) \quad , \quad x\in \R$
a)
$g'(x)=1- ( 0\cdot ln(x^2+3) + 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x^2+3} ) \\ = 1-\frac{4x}{x^2+3} = \frac{x^2+3}{x^2+3}- \frac{4x}{x^2+3} = \frac{x^2-4x+3}{x^2+3} $
b)
$g'(x)=0 \\ \frac{x^2-4x+3}{x^2+3} = 0 \\ x^2-4x+3 = 0 \\ (x-1)(x-3)=0 \\ x=1 \vee x= 3$
Ingen av disse x-verdiene gir null i nevner til $g'(x)$, og ingen av x-verdiene gir $ln$ til et negativt tall i $g(x)$, så begge er gyldige svar.
Grafen til g har et toppunkt i x=1 og et bunnpunkt i x=3.