S2 2018 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=e2xf(x)=2e2x

b)

g(x)=x41x2g(x)=4x3x2(x41)2x(x2)2=4x52x5+2xx4=2x5+2xx4=2x4+2x3

c)

h(x)=x3lnxh(x)=3x2lnx+x31x=3x2lnx+x2

Oppgave 2

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er limnSn=limni=1nai=a11k

a)

Vi har rekken an=5413n1. I denne rekka er k=13. Det vil si at rekken konvergerer. Summen er gitt ved:

limnSn=54113=5423=5432=81

b)

Vi har rekken an=4(2)n1. I denne rekka er k=2. Det vil si at rekken ikke konvergerer.

Oppgave 3

a)

x runder løpt 1 2 3 4 n
f(x) kroner tjent per runde 10 15 20 25 Fn
utregning for å finne formel 52 53 54 55 5(n+1)=5n+5

Inntekten per runde Fn er gitt ved Fn=5n+5, der x er antall runder løpt og n>0. Setter Fn=100

5n+5=100n+1=20n=19

Lise må løpe 19 runder for å tjene 100 kroner på den siste runden.

b)

S=n=1255n+5=(51+5)+(525+5)225=10+130225=7025=1750

Bedriften må gi totalt 1750 kroner dersom Lise løper 25 runder.

Oppgave 4

a)

Funksjonen f er delelig på (x-1), derfor er (x-1) en faktor i f(x).

b)

Vi har allerede funnet en faktor, nemlig (x-1).

Faktoriserer nå resten ved å kjenne igjen andre kvadratsetning:

x24x+4=x222+22=(x2)(x2)

Vi har da:

f(x)=x35x2+8x4=(x1)(x2)(x2)

c)

Kjenner igjen konjugatetningen i nevneren.

x35x2+8xdx24=x35x2+8xd(x+2)(x2)

Brøken kan forkortes for d=4, slik vi hadde for f(x), hvor (x-2) var en faktor.

Oppgave 5

a)

I(p)=pq(p)=p500e0,04p

Finner størst inntekt ved derivasjon:

I(p)=500e0,04p+500p(0,04)e0,04p=500e0,04p20pe0,04p=(50020p)e0,04p

I(p)=0(50020p)e0,04p=0(50020p)=0p=50020=25

Vi har et toppunkt i p=25. Det vil si at en pris på 25 kr gir maksimal inntekt.

b)

q=500e0,04pq500=e125plnq500=125p25lnq500=pp(q)=25lnq500

c)

p(q)=25lnq500

p(q)=p(u)u,u=q500

p(q)=251uu

p(q)=251q5001500=25qp(25)=2525=1

Svaret forteller oss at ved en etterspørsel på 25 enheter, vil prisen synke med 1 krone per enhet, dersom etterspørselen blir 26 enheter.

Oppgave 6

a)

Vi har f(x)=ax3+bx2+cx+d, der a,b,c og d er konstanter.

  • x=1 er et nullpunkt, det vil si at f(1)=0 .

f(1)=a13+b12+c1+d=a+b+c+d=0

  • x=-2 er et nullpunkt, det vil si at f(2)=0.

f(2)=a(2)3+b(2)2+c(2)+d=8a+4b2c+d=0

  • x=1 er ekstremalpunktet, det vil si at f(1)=0.

f(x)=3ax2+2bx+cf(1)=3a12+2b1+c=3a2+2b+c=0

  • At grafen til f skjærer y-aksen i y=2 forteller oss at konstantleddet d=2.

b)

Bruker at d=2. Bruker likning 1 til å finne et uttrykk for c:

a+b+c+d=0c=ab2

Setter inn uttrykket for c i likning 2:

8a+4b2c+2=08a+4b2(ab2)+2=08a+4b+2a+2b+4+2=06a+6b+6=0|:6a+b+1=0

Setter inn uttrykket for c i likning 3:

3a+2b+c=03a+2b+(ab2)=03a+2bab2=02a+b2=0

Har nå to likninger med to ukjente:

a+b+1=02a+b2=0

Finner et uttrykk for b:

a+b+1=0b=a1

Finner a:

2a+b2=02a+(a1)2=03a3=0a=1

Finner b:

b=a1=11=0

Finner c ved hjelp av mitt tidligere uttrykk for c:

c=ab2=102=3

Bestemmer et uttrykk for f(x):

f(x)=1x3+0x23x+2=x33x+2

Oppgave 7

a)

La X være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.

x 0 20 60 200
P(X=x) 13 13 16 16

b)

Finner forventningsverdien E(x)=μ

μ=0P(X=0)+20P(X=20)+60P(X=60)+200P(X=200)=0+2013+6016+20016=203+303+1003=1503=50

Forventningsverdien er 50 kroner.

Finner variansen Var(X)

Var(X)=(0μ)2P(X=0)+(20μ)2P(X=20)+(60μ)2P(X=60)+(200μ)2P(X=200)=(050)213+(2050)213+(6050)216+(20050)216=25003+9003+1006+225006=25003+9003+503+112503=147003=4900

Finner SD(X)=Var(X)

SD(X)=4900=70

c)

Prisen per spill må være 60 kroner dersom jeg som arrangør i det lange løp skal få et overskudd på 10 kroner per spill.

d)

S er ifølge sentralgrensesetningen tilnærmet normalfordelt, fordi vi gjentar spillet 100 ganger. Sentralgrensesetningen sier følgende:

La X være en stokastisk variabel med forventningsverdi μ og standardavvik σ.

La ΣnX være summen av n uavhengige forsøk med X.

For store verdier av n er ΣnX tilnærmet normalfordelt.

e)

E(X)=10 fordi forventningsverdien for spilleren er -10 kroner per spill.

E(S)=μ=nμ=100(10)=1000

Det betyr at forventningsverdien for 100 spill er -1000 kroner.

Standardavviket for gevinst er det samme som før, SD(X)=70.

SD(S)=σ=nσ=10070=1070=700

Det betyr at standardavviket for 100 spill er 700 kroner.

f)

P(S>0)=1P(S<0)=1Φ0μσ=1Φ0(1000)700=1Φ107=1Φ(1,43)=10,9236=0,0764

Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene er 0,0764 = 7,64%.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker CAS i Geogebra til å finne et uttrykk for overskuddet, O(x)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til O2(x).

b)

Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[O2] til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 875 enheter i uka, se punkt A.

c)

Jeg finner ekstremalpunkt for a(x), kostnad per enhet, i x=400 og x=-400. Forkaster x=-400, siden vi bare ser på x0,2000. Sjekker at det er et bunnpunkt (og ikke et toppunkt) i x=400 ved å se at funksjonen synker i x=350 og øker i x=450.

Den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet, er 400 enheter i uka.

Oppgave 2

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse. Velger logistisk regresjonsmodell.

En funksjon som beskriver sammenhengen mellom tiden t og antall skadedyr i dette huset, er

g(t)=299,81+44,27e0,18t

b)

Antall skadedyr økte raskest i t=203ln(39)24,4 dager etter at huset ble invadert. Dette er vendepunktet til f(t). Da var vekstfarten på 9 skadedyr per dag.