Sinusfunksjonen

Fra graf til funksjonsuttrykk

Generellt ser uttrykket til en sinusfunksjon slik ut:

$f(x) = A sin(kx+c) + d$

Hvordan kan vi knytte dette funksjonsuttrykket sammen med en graf som ser slik ut?:

Likevektslinje

Likevektslinjen er den linjen den periodiske funksjonen svinger rundt. Utslaget er like stort til begge sider (opp og ned).

Likevektslinje: y = d

Vi finner uttrykket for d ved å regne ut: $d= \frac{f_{maks}+ f_{min}}{2}= \frac{2,5+(-0,5)}{2} = 1$

Amplitude: A

Amplituden er det største utslaget på grafen. Når du skrur på volumet på stereoen din bestemmer du amplituden. Dersom du ønsker høy lyd er aplituden stor..

Amplituden er utslaget fra likevekstlinja, og er alltid positivt.

Amplitude: $\quad f_{max}- d = 2,5-1 = 1,5 $

Man må merke seg at amplituden er en absoluttverdi, den er alltid positiv fordi den måler avstanden fra likevekstlinje til maksimalt (eller minimalt) utslag.

Amplituden er lengden av den blå linjen. Den grønne linjen er likevekstlinjen.

Da har vi etablert at modellen ser slik ut: $f(x)=1,5 sin(kx+c) +1$

Vi mangler fortsatt k og c.

Periode

Hvor mange ganger funksjonen repeterer seg selv i intervallet $2 \pi$ multiplisert med lengden av repetisjonen gir:

$pk = 2 \pi$

Peiode P: $ p = \frac {2 \pi}{k} , \quad \quad \quad \quad Antall \, repetisjoner\, i \ 2\pi: k= \frac{2\pi}{p}$

k er gjentakelser i intervallet $2 \pi$ og p er lengden av perioden.

Den stiplede linjen viser gjentakelsene av funksjonen en fra F til G, og en fra G til E, altså k = 2.

k er antallet ganger funksjonen repeterer seg selv i intevallet $2 \pi$. Fra figuren ser man at k = 2 og at lengden på peroden blir $\pi$

Faseforskyvning

sin (x) og sin (kx) vil være null for x = 0, for så å vokse med økende x. Ved faseforskyvning blir veksten forskjøvet.

Vi finner skjæring med likevektslinje ved å sette

kx + c= 0

Faseforskyvning: $\quad x =- \frac{c}{k}$

Man observere at faseforskyvningen ser ut til å være ca. - en fjerdedels pi (litt på øyemål). V tar utgangspunkt i der likevektslinjen krysser y aksen og beveger oss til den delen av grafen som vokser, fordi sinusfunksjonen vokser for vinkler i første kvadrant. Se fuguren over.

Da blir c: $ -\frac{c}{k} = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow c= -2 \cdot (-\frac {\pi}{4}) = \frac {\pi}{2}$

Dersom $c<0$ forskyves grafen mot høyre.

Dersom $c> 0$ forskyves grafen mot venstre.

Funksjonsutrykket ser slik ut: $f(x)= 3sin(2x+ \frac{\pi}{2}) +2$

Litt mere om faseforskyvning

Alternativ skrivemåte