Funksjonen a sin cx + b cos cx
Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +$\varphi$). Det er alltid mulig.
Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx + $\varphi$)
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$ og $tan \varphi = \frac ba$
NB: $\varphi$ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b)
Eksempel:
f(x) = -2 sin 3x + cos 3x $\quad \quad A= \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt 5 = 2,24 \quad \quad tan \varphi = - \frac 12 \Rightarrow \varphi = 2,678$
Husk at punktet (-2,1) ligger i andre kvadrant, så vi jakter på en vinkel i denne kvadranten.
Vi får : f(x)= 2,24 sin(3x + 2,,678)
Her er utgangsfunksjonen, her kalt g(x) tegnet med likevektslinje y = 2, bare for å kunne sammenligne grafene til de to uttrykkene. Vi ser at de er identiske, med en faseforskyvning mot venstre på $ \frac{2,678}{3} = 0,89$.
Bevis
Ser på uttrykket som vektorer:
$a \cos{kx}+ b \sin{kx} =\\ [a, b] \cdot [coskx, sinkx] =\\ | [a, b]| \cdot |[coskx, sinkx]| \cdot cos( [a, b], [coskx, sinkx] ) =\\ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{cos^2kx + sin^2kx} \cdot cos ( [a, b], [coskx, sinkx] ) = \\ \sqrt{a^2+b^2} \cdot 1 \cdot cos ( [a, b], [coskx, sinkx] ) = \\ \sqrt{a^2+b^2} \cdot cos ( [a, b], [coskx, sinkx] ) $
Vinkelen mellom vektoren [coskx, sinkx] og x- aksen er kx.
$ a = A cos(\varphi) \\ b= Asin(\varphi)$
Vinkelen mellom vektoren [a, b] og x-aksen er $\tan \varphi = \frac ba \Rightarrow \varphi = tan^{-1} ( \frac ba)$
$a \cos{kx}+ b \sin{kx} = A cos(kx+ \varphi)