Trigonometriske likninger

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

1)

acos2x+bcosx+c=0

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med z. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x og finner mulige x verdier.

Eksempel 1.

sin2x+sinx1=0,x[0,2π>
Denne vet vi vet å løse med annengradsformelen. Da får vi to trigonometriske grunnligninger:
sinx=512
sinx=5+12
Merk at 5+12>1, altså har ikke denne grunnligningen noen løsninger. Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnligningen. Når vi løser denne, får vi
Missing or unrecognized delimiter for \left

2)

asinx+bcosx=0

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

3)

acos2x+bsinx+c=0

Ligningen løses ved å erstatte cos2 x med 1 - sin2 x

4)

asin2x+bcosx+c=0

Ligningen løses ved å erstatte sin2x med 1cos2x

Eksempel 4:

sinx+2cos2x=1,x[0,2π>
Vi kjenner identiteten sin2x+cos2x=1. Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til
sinx+22sin2x=1
2sin2xsinx1=0
Dette er en andregradslikning i sinx, som vi kan løse:
sinx=1±1+84=1±34
sinx=1+34=1sinx=134=12
sinx=1x=π2
sinx=12x=7π6x=11π6
Missing or unrecognized delimiter for \left

5)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med cos2 x

6)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d

Her må konstantleddet skrives om : d=d1=d(sin2x+cos2x). Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.