R1 2014 høst LØSNING

• Løsning fra NDLA
• Diskusjon av denne oppgaven
• Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i fasit. På forhånd, takk.
  

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

Oppgave 1

a)

$f(x)=5x^3-2x^2+5 \\ f ` (x)=15x^2-4x$

b)

$g(x)= x^2 \cdot e^x \\ g`(x) = 2xe^x+ x^2e^x= xe^x(2+x)$

Oppgave 7

a)

$A_{ABCD} = a^2$

Lengden AC = $ \sqrt 2 a$

Areal stort kvadrat blir da:

$A_{AEFC} = ( \sqrt 2 a)^2 = 2 a^2$

Det store kvadratet har dobbelt så stort areale som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

Oppgave 8

$f(x) = x^3-x \\ f'(x)= 3x^2-1 \\ f'(x)= lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+ \Delta x)^3-(x+ \Delta x) - (x^3 - x)}{\Delta x}= \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+ 2x \Delta x +( \Delta x)^2)(x + \Delta x)-x- \Delta x - x^3 + x)}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^3+2x^2 \Delta x +x( \Delta x)^2+x^2 \Delta x +2x( \Delta x)^2+( \Delta x)^3 - \Delta x - x^3}{\Delta x} = \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x( 2x^2 + x \Delta x + x^2 +2x \Delta x + ( \Delta x)^2 - 1)}{\Delta x} = \\ 2x^2+x^2 - 1 = \\ 3x^2-1 $

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

$u+2x =180 \\ 2x= 180-u \\ x = 90 - \frac u2$

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

$v + 90 - \frac u2 = 90 \\ v = \frac u2$

Oppgave 7

a)

$f(x)= \frac uv \quad \quad u>0, \quad v>0 \\ (\ln f(x))´ = \frac 1u \cdot u´- \frac 1v \cdot v´= \frac{u´v-vú}{uv}$

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

$( \frac uv)´ = (e^{\ln \frac uv})´ = e^{\ln \frac uv} \cdot \frac{u´v-vú}{uv} =\frac uv \cdot \frac{u´v-v`u}{uv} = \frac{uv´- v`u}{v^2}$