S1 2015 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$2x^2-6x+4=0 \\ x= \frac{6 \pm \sqrt{36 -4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} \\ x= \frac{6 \pm 2}{4} \\ x=1 \vee x= 2$

b)

$2lgx - lg2 = lg(4-x) \\ lg{ \frac{x^2}{2}} = lg(4-x) \\ 10^{ lg{ \frac{x^2}{2}}} = 10^{lg(4-x)} \\ \frac{x^2}{2} = 4-x \\ x^2+2x-8=0 \\ x= \frac{-2 \pm \sqrt{4-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} \\ x= \frac{-2 \pm 6}{2} \\ x= -4 \vee x =2$

Likningen inneholder lgx, så alle negative løsninger må forkastes.

Dvs. x = 2. Ved å sette prøve på svaret ser man at begge sider gir lg2.

Oppgave 2

a)

$PC + CB = 30 = x + y$ Det er like langt fra B til P, om C og om A, derav første likning.

$(10+x)^2+400 = y^2$ er Pytagoras anvendt på trekanten ABC.

b)

<math> \left[ \begin{align*} x+y=30\\ (10+x)^2+400 = y^2 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} x=30 - y \\ (10+30-y)^2+400 = y^2 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} x=30 - y \\ (1600 -80y +y^2 +400 = y^2 \end{align*}\right] </math>

Den nederste likningen gir: 80y = 2000, dvs. y = 25

$x = 5 \vee y = 25$

Oppgave 3

a)

$(a+1)^2 - 2(a-1)(a+1) + (a-1)^2 = \\ a^2+2a+1 -2(a^2-1) +a^2 -2a+1=\\ a^2 +2a+1-2a^2+2+a^2-2a+1=\\ 4$

b)

$\frac{(2a^2)^{-1}(3b)^2}{(3a^2b^{-1})^2} \\ \frac{9b^2b^2}{18a^6}= \\ \frac{b^4}{2a^6}$

Oppgave 4

a)

$f(x)= x^3 -6x^2+9x-4 \quad D_f = \R \\ f´(x) = 3x^2-12x+9$

b)

Setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunkter:

$f´(x) = 0\\ 3x^2-12x+9 =0 \\x = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} \\ x=1 \vee x= 3 $

Faktorisert:

$f´(x)= 3(x-1)(x-3)$

$f´(2) = $ negativ verdi, så:

Maksimumspunkt: $f(1)= 1-6+9-4 = 0$. dvs. (1,0).

Minimumspunkt: $f(3)= 27-54+27-4 =-4$. dvs. (3, -4).

c)

Likning til tangenten til grafen i (0, f(0)):

f(0) = -4

f´(0) = 9

$ y= ax+b \\ y= 9x+b \\ -4 = 9 \cdot 0 +b \\ b=-4 \\ y= 9x-4$

d)

Den deriverte til den andre tangenten må være 9.

$f´(x)=9 \\ x= 0 \vee x =4$

f(4)=0

Den andre tangenten med stigningstall 9 tangerer i punktet (4,0)

Oppgave 5

a)

b)

Sjekker hjørnene i trekanten (-1, 0), -1, 6) og (2, 3)

$3x+2y \\ 3 \cdot (-1) +0 = -3 \\ 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 6= 9 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$

Uttrykket blir størst i punktet (2, 3)

Oppgave 6

a)

$K(x)= 0,25x^2+100x + 5000 \quad x \in [0, 400]$

Inntekt er : $I(x) = 200x$

Overskudd = Inntekt - Kostnad:

$O(x)= I(x)-K(x) \\ O(x)= 200x- 0,25x^2-100x-5000 \\ O(x)= -0,25x^2 + 100x - 5000$

b)

$O´(x) = -0,5x+100$

Setter den deriverte lik null og får løsningen x = 200.

200 solgte enheter gir størst overskudd.

Oppgave 7

a)

Sannsynlighet for to røde kuler:

$ P(2 røde)= \frac{ \binom{3}{2} \binom{4}{1}}{ \binom{7}{3}} = \frac{\frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot \frac{4!}{1! \cdot 3!}}{ \frac{7!}{3! \cdot 4!}} = \frac{3 \cdot 4}{35}= \frac{12}{35}$

b)

Flere røde enn blå:

p( flere røde enn blå) = P(2 røde) + P (3 røde)= $\frac{12}{35} + \frac{\binom{4}{0} \binom{3}{3}}{ \binom{7}{3}} = \frac{12}{35} + \frac{1}{35} = \frac{13}{35}$

c)

Med tilbakelegging har vi en binomisk situasjon der p= $\frac 37$, n = 3 og x = 2 :

P(2 røde) = $ \binom{3}{2} \cdot ( \frac 37)^2 \cdot ( \frac 47) = \frac{108}{343} $

Det er ca en tredjedels sjanse for at to av kulene er røde.

Oppgave 8

a)

Graf A kommer fra en brøkfunksjon, altså h eller g. Begge har vertikal asymptote for x = 1, så det hjelper oss ikke. Dersom vi deler alle ledd i teller og nevner på x vil vi lett se den horisontale asymptoten, når vi lar x gå mot uendelig. h har vertikalasymptote for y = 2 og g har for y =1. Det er altså h som er fremstilt i graf A.

b)

Graf B har en form som tilsier at det kan være en tredjegradsfunksjon. Da har vi kandidatene f og k. Både f og k skjærer y-aksen i 2, så det hjelper oss ikke. Vi sjekker den deriverte for x=0.

$f´(x)=3x^2+2x-2,\quad f´(0) = -2 \\ k´(x)=6x^2-6. \quad k´(0)= -6$

Begge de deriverte er negative, så det er vanskelig å konkludere. Sjekker ekstremalpunkt for $x= \pm 1$:

$f´(1) =3 \\ k´(1)= 0 \wedge k´(-1)=0$

Vi ser at f ikke passer pga minimum i x=1, men k(x) er funksjonen til graf B.

Oppgave 9

$9^x-3^x-12=0 \\ (3^2)^x -3^x-12 =0 \\ 3^{2x}-3^x-12 =0 \\(3^x)^2 -3^x-12=0 \\ u= 3^x \\ u^2-u-12 =0 \\ u = \frac{1 \pm{\sqrt{1+48}}}{2} \\ u = -3 \vee u = 4 \\ $

$3^x$ kan ikke være negativ, så kun 4 er en løsning for u.

$3^x=4 \\ 3^x =2^2 \\ x \lg3 = 2 \lg2 \\ x= \frac{2 \lg2}{\lg3}$