1T 2011 vår LØSNING
Del 1
Oppgave 1
a)
1) <math>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</math>
2) <math>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</math>
b)
<math>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</math>
Ved abc-formelen:
<math>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</math>
<math>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</math>
c)
Begynner med å faktorisere uttrykket:
<math>x^2-x>0 \Leftrightarrow x(x-1)>0 </math>
Tegner så fortegnsskjema:
<math>x \in <\leftarrow, 0> \cup<1, \rightarrow></math>
d)
1) E <Math>\quad 8^{\frac 13} = \sqrt[3]{8} = 2</Math>
2) C <Math>\quad 5,5^0 = 1</Math>
3) J Roten av tjueen er mellom fire og fem.
4) B
5) G
6) H
e)
<math>\text{lg}(2x - 1) = 2</math>
<math>2x - 1 = 10^2</math>
<math>2x = 101</math>
<math>x = \frac{101}{2}</math>
f)
1)
Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:
| Sommerjobb S | Ikke sommerjobb <math>\bar{S}</math> | Sum | |
| Ferie F | <math>10</math> | <math>4-2=2</math> | <math>10+2=12</math> |
| Ikke ferie <math>\bar{F}</math> | <math>16-10=6</math> | <math>2</math> | <math>6+2=8</math> |
| Sum | <math>16</math> | <math>20-16=4</math> | <math>20</math> |
2)
I tabellen fant vi at 12 elever skal på ferie, og fra oppgaveteksten vet vi at det er 20 elever i klassen. Da blir sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen skal på ferie <math>\frac{12}{20}=\frac 35=0,60=60 \percent</math>
Oppgave 2
a)
<Math>f(x) = x^2-2</Math>
b)
Sekanten er gitt ved
<math>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</math>
c)
Tangenten er gitt ved
<math>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align} </math>
Der det er brukt at <math>f^{\prime}(x) = 2x</math>.
Oppgave 3
a)
Her er <math>AB=1</math>, og <math>BE=\frac 12 \cdot BC= \frac 12\cdot 1=\frac 12</math>. Lengden av <math>AE</math> blir da:
<math>AE^2=AB^2+BE^2 \Leftrightarrow AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+\left( \frac 12\right)^2}=\sqrt{(\frac 22)^2+\left( \frac 12\right)^2}=\sqrt{\frac {2^2}{2^2}+\frac {1^2}{2^2}}=\sqrt{\frac{4+1}4}=\sqrt{\frac{5}4}=\frac {\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt 5}2</math>
AF = AE
b)
Areal av trekant AEF:
<math> A = 1 - 2\frac{1\cdot \frac{1}{2}}{2} - \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} = \frac 88 - \frac 48 - \frac 18 = \frac 38</math>
c)
<math>A= \frac12 abSinC \\ \frac 38 = \frac 12 \cdot \frac{\sqrt5}{2} \cdot \frac{\sqrt5}{2}SinA \\ \frac38 = \frac 58 SinA \\Sin A = \frac35</math>
Del 2
Oppgave 4
a)
b)
Grafisk:
1) Man ser fra grafen at når bilen slipper ut 150g/km er farten enten 60 km/t eller 86km/t.
2) Man ser fra grafen at det laveste utslippet er 142g/km, da er farten 73km/t
Ved regning:
1)
<math>f(x)=150 \\ 0,046x^2-6,7x + 386 = 150 \\ 0,046x^2-6,7x + 236 = 0 \\ x = \frac{6,7 \pm \sqrt{6,7^2-4 \cdot 0,046 \cdot 236}}{2 \cdot 0,046} = \frac{6,7 \pm 1,21}{0,092}\\ x =59,7 \quad \vee \quad x = 86</math>
2)
<math>f'(x)=0,092x-6,7 \\ f'(x)=0 \\ 0,092x - 6,7 = 0 \\ x = 72,8 </math>
c)
<math>f(70) = 0.046 \cdot 70^2 - 6,7 \cdot 70 +386 = 142,4 </math>
På en halv time i 70 km/t beveger bilen seg 35km.
Utslippet blir da 4984 gram, altså ca 5kg.
Oppgave 5:
a)
<math> \frac{1,2}{1,6} = \frac {x}{12} \\ x= \frac {x \cdot 1,6}{12 \cdot 1,2} \\ x = 9</math>
b)
<math> tan \alpha = \frac {9}{12} \\ \alpha = tan^{-1} ( \frac {9}{12}) \\ \alpha = 36,9^{\circ}</math>
c)
Legg planken på det flate underlaget slik at den stikker en meter ut over kanten. Mål avstanden fra tuppen på planken til bakken. Den verdi du finner vil da være tan u.
d)
Treets høyde:
<math> \frac{17m}{sin 53,1} = \frac {x}{sin 11,9} \\ x= 4,4m</math>
Oppgave 6:
a)
1)Det var ca. 15 grader. (fra graf der den krysser y aksen)
2)Det ble varmet i ca. 5 minutter og var 90 grader når de ble satt i kjøleskapet.
b)
Grafen for oppvarming, fra null til fem minutter ser ut som en rett linje.:
f(x) = 15x + 15
f(x)= 100
15x + 15 = 100
Det vil ta 5 minutter og 40 sekunder.
c)
Vannet har en høyere temperatur enn 60 grader når det varmes opp, fra 60 til 90 grader. Og når det avkjøles, fra 90 til 60 grader. Oppgaven kan tolkes litt forskjellig i forhold til om man skal ta med oppvarmingsdelen. Vi velger å gjøre det.
<Math>f_{opp}(x) = 15x+15 \\ f_{opp} >60 \\ 15x+15>60 ++ x>3</Math>
Vannet er altså varmere enn 60 grader i ca. to minutter under oppvarmingen, fra 3 til 5 minutter.
<math> f(x) = 115,82 \cdot 0,94^x x \geq \\ f(x)> 60 \\ 115,82 \cdot 0,94^x + 5 > 60 \\ 0,94^x > 0,4748 \\ xlg0,94 > lg 0,4748 \\ x < \frac{lg 0,4748}{lg 0,94} \\ x \in [5,12> </math>
d)
5 grader.
Oppgave 7:
a)
| LARS | BÅRD | Resultat |
| papir | papir | U |
| saks | saks | U |
| stein | stein | U |
| stein | saks | V - Lars |
| papir | stein | V - Lars |
| saks | papir | V - Lars |
| papir | saks | V - Bård |
| stein | papir | V - Bård |
| saks | stein | V - Bård |
b)
Fra tabellen i a ser man at det er tre gunstige utfall for at Bård vinner, av ni mulige utfall. 3/9 = 1/3. Dvs. P(B) = 1/3.
c)
Det er tre forsøk av tre muligheter hver gang: <math>3^3=27</math>
d)
P(B vinner minst to) = P(B vinner to) + P(B vinner tre) = <math>\left ( 3\\2 \right) \left( \frac 13 \right)^2\left( \frac 23 \right)+ \left( 3\\3 \right)\left( \frac 13 \right)^3\left( \frac 23 \right)^0 = \frac{7}{27} </math>
e)
I tillegg til muligheten i d kan Bård vinne en gang og de to andre omgangene bli uavgjort. Sannsynligheten for det er:
P(vinner en gang) = P(VUU) + P(UVU) + P(UUV) = <math> 3 \cdot \frac 13 \cdot \left ( \frac 13 \right)^2 = \frac{3}{27}</math>
Sammen med svaret fra d: P(Bård vinner)= <math> \frac {3}{27} + \frac {7}{27} = \frac{10}{27}</math>
Oppgave 8:
a)
<math>AC=BD \wedge AB=CD \wedge AD = BC \\ AC \cdot BC = AB \cdot CD + AD \cdot BC \\ AC^2 = AB^2 + AD^2 </math>
Det er Pytagoras setning.
b)
Likesidet trekant: AB = BC = AC
<math>AB \cdot PC = AP \cdot BC + PB \cdot AC \\ AB \cdot PC = AP \cdot AB + PB \cdot AB \\ PC= PA + PB</math>