R2 2012 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) $ f(x) = 3\sin 2x \\ u=2x, \quad u' = 2 \\ f'(x) = 2 \cdot 3 \cos 2x \\ f'(x) = 6\cos 2x$

2) $g(x) = x^2\sin x \\ u= x^2, \quad v = \sin x \\ g'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x =x(2\sin x+x\cos x)$

3) $k(x) = 5\cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \\ k'(x) = - \frac{5\pi}{12} \sin(\frac{\pi}{13}x-2)$

b)

$\int xe^{2x}dx = \frac12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \\ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \\ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C$

c)

$\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \\ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \\ 2x= A(x+2) + B(x-2) \\ x=2 \Rightarrow A = 1 \\ x= -2 \Rightarrow B=1 \\ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \\ = [\ln|x-2|]^7_3 + [\ln|x+2|]^7_3 \\ = \ln5-\ln1+\ln9-\ln5 = \ln3^2 = 2\ln3$

d)

$y' -2y = 3 \\ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \\ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \\ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \\ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \\y(0) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \\ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}$

e)

$1+e^{-x} + e^{-2x}+ .... \quad x > 0$

1) $k= \frac{e^{-x}}{1} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x}$

$ -1 < e^{-x}<1 $ Dvs: rekken konvergerer.

2) $S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}$

Oppgave 3

$f(x) = x \cdot e^x$

a)

$f'(x) = e^x +xe^x = (x+1)e^x \\ f´´(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

c)

$ f^{(n)} (x) = (x+n) e^x \\ n = 1: \quad f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

Formelen stemmer for $n = 1$.

Setter $n = k$ og undersøker om formelen stemmer for $k + 1$:

$f^{(k+1)} = ((x+k)e^x)' = (x+k)'e^x + (x+k)(e^x)' = (x+k+1)e^x$

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

Del 2

Oppgave 4

a)

$ f(t) = 19 -4\cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \\ f(85) = 19 -4\cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 $

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er $360$.

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

<math> f(t) = 18 \\ 19 - 4\cos( \frac{\pi \cdot t}{180}) = 18 \\ t=76 \quad \vee \quad t= 256</math>

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

Oppgave 5

a)

<math> \tan(u-v) = \frac{\sin(u-v)}{\cos(u-v)}\\ = \frac{\sin u \cdot \cos v - \cos u\cdot \sin v }{\cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v} \\ = \frac{ \frac {\sin u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} - \frac {\cos u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v} }{ \frac {\cos u \cdot \cos v}{\cos u \cdot \cos v} + \frac{\sin u \cdot \sin v}{\cos u \cdot \cos v}} \\ = \frac{\tan u - \tan v}{1 - \tan u \cdot \tan v}</math>

b)

<math> f(x) = \tan( \alpha) = \tan (u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 - \tan u \cdot \tan v} \\ = \frac{ \frac 4x - \frac 1x}{1 + \frac 4x \cdot \frac 1x} = \frac{4x-x}{x^2 + 4} = \frac{3x}{x^2 +4}</math>

c)

<math>f'(x)= \frac{3(x^2+4)-3x \cdot 2x}{ (x^2+4)^2} = \frac{12-3x^2}{(x^2+4)^2} \\ f'(x)= 0 \Rightarrow 12-3x^2=0 \\ x= 2 \\ f(2) = \frac 34</math>

d)

Største synsvinkel:

<math>\frac 34 = \tan \alpha \\ \alpha = 36,9^{\circ}</math>

Oppgave 6

a)

<math>v_0 = 25m/s \\ y- fart \\y' - akslerasjon \\ \\ y' = ky^2 \\ Bestemmer \quad k: \\ -12 = k \cdot25^2 \\ k = 0,02 \\ \\ \frac{dy}{dx} = -0,02y^2 \\ \int{y^{-2}}dy = \int -0,02dx \\ -y^{-1}= -0,02x + c \\ y= \frac{1}{0,02x+c}</math>

b)

Ved tiden x = 0:

<math>y = \frac 1C \\ 25 = \frac 1C \\ c = 0,04 </math>

Farten til båten ved x = 3:

<math>y(3) = \frac {1}{0,06 + 0,04} = 10 m/s</math>

c)

Båten har forflyttet seg ca. 46 meter på 3 sekunder.