1T 2010 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 20: Linje 20:


=== e) ===
=== e) ===
<math>f(x)= -2x^3+8x+4 \ f'(x) = -6x + 8 \ f'(1) = -6+8=2 \ f(1) = 10 \ y= ax+b \ y=2x+b \punktet \quad (1,f(1)) \Rightarrow 10 = 2 + b \ b = 8 \ Likning \quad for \quad tangent: \quad y=2x+8</math>
<math>f(x)= -2x^3+8x+4 \ f'(x) = -6x + 8 \ f'(1) = -6+8=2 \ f(1) = 10 \ y= ax+b \ y=2x+b \ \text{punktet} \quad (1,f(1)) \Rightarrow 10 = 2 + b \ b = 8 \ \text{Likning for tangent:y=2x+8</math>


=== f) ===
=== f) ===

Sideversjonen fra 2. mar. 2013 kl. 23:37

Del 1

Oppgave 1

a)

Nullpunkt ved regning:

f(x)=02x+3=02x=3x=32

Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.

b)

x2+8x=15x2+8x+15=0x=8±82411521x=8±22x=5x=3

c)

524(43)323=5161318=5168=3

d)

4a13a122a16=22a13a122a16=221a13+12(16)=2a26+36+16=2a

e)

f(x)=2x3+8x+4f(x)=6x+8f(1)=6+8=2f(1)=10y=ax+by=2x+bpunktet(1,f(1))10=2+bb=8Likning for tangent:y=2x+8

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

x29x2+6x+9=(x+3)(x3)(x+3)(x+3)=(x+3)(x3)(x+3)(x+3)=x3x+3

g)

log(2x+4)=3log2log(2x+4)=log(23)2x+4=232x+4=82x=842x=4x=42x=2

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

P=P(B)+P(Gr)=38+28=58=0,625=62,5

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

P=P(Gul)P(Gr))=1828=2188=264=132=0,03125=3,125

i)

Oppgave 2

a)

b)

g(x)=ax2+bx+cg(0)=4C=4g(x)=ax2+bx4g(2)=04a+2b4=0g(2)=04a2b4=0

Legger sammen de to likningene og får:

8a-8=0

a=1

Innsatt i 4a + 2b- 4 = 0

Gir b=0, funksjonsuttrykket blir da

g(x)=x24

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

AC2=AD2+CD2AC=AD2+CD2=(3,0m)2+(5,0m)2=9,0m2+25m2=34m25,8m

b)

Cosinussetningen:

BD2=(5m)2+(5m)225m5mCos120=75m2BD=8,7m

c)

Areal trekant ACD: A=3,0m5,0m2=7,5m2

For å finne arealet av de tre andre trekantene trenger man å finne en del størrelser.

Bruker tangens og finner at:

Vinkel CAD = 59,04 grader

Vinkel DCA = 30,96 grader

Det fører til at

Vinkel BAE = 40,96 grader og

Vinkel ACB = 89,04 grader

Trekanten BCD er likebeint hvilket betyr at vinkel CBE = EDC = 30 grader.


Areal trekant BCD: A=125m5msin120=10,83m2


Areal trekant ABD: A=123m75msin60=11,22m2


Areal trekant ABC: A=125m7,6msin50=14,55m2

1)

OVE: ABD + BCD = 11,22m2+10,83m222,1m2

2)

TOMMY: ABC + ACD =14,55m2+7,5m222,1m2

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen s=vt, der s er strekningen Arne har syklet, v er farten han sykler med, og t er tiden han har brukt:

s=s1+s2=v1t1+v2t2=12km/t30min60min+18km/t15min60min=12km/t12t+18km/t14t=6km+4,5km=10,5km11km

b)

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

y=1260x=15x=0,20x gjelder når x[0,30] (sagt med ord: når x er fra og med 0 til og med 30).


Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

y=1860x=310x=0,30x gjelder når x30,60](sagt med ord: når x er fra 30 til og med 60).

Oppgave 5

a)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

Briller B Ikke briller B¯ Sum
Kontaktlinser L 9,7\percent 7,2\percent 9,7\percent+7,2\percent=16,9\percent
Ikke kontaktlinser L¯ 14,3\percent 100\percent(14,3\percent+7,2\percent+9,7\percent)=68,8\percent 100\percent16,9\percent=83,1\percent
Sum 24,0\percent 100\percent24,0\percent=76,0\percent 100\percent

b)

Som vi regnet ut i tabellen i a) er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller 76,0\percent.

c)

Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:

9,7\percent10024\percent=40,4\percent

Oppgave 6

a)

b)

Grafen har nullpunkt når f(x)=0,5x22x=0. Løser likningen 0,5x22x=0 for å finne nullpunktene:

0,5x22x=0x(0,5x2)=0. Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at x=0 eller 0,5x2=00,5x=2x=4.

Altså er f(x)=0 når x=0 og x=4. Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:

f(0)=0,50220=0

f(4)=0,54224=0,5168=88=0

Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen (f(x),x)): (0,0) og (4,0).

c)

f(x)=x2f(1)=12=3f(1)=0,5+2=2,5y=ax+by=3x+b2,5=3(1)+bb=0,5y=3x0,5

d)

f(x)=1x2=1x=3f(3)=4,56=1,5y=ax+b1,5=13+bb=4,5y=x4,5

Oppgave 7

Alternativ I

a)

[2yx2+2x=ay2x=3]

1)

Når a=6, er likningssettet: [2yx2+2x=6y2x=3]. Dette kan f.eks løses ved å

[2yx2+2x=6y2x=3|2][(2yx2+2x=6)+(2y+4x=6)]2y2yx2+2x+4x=66x2+6x=0x(6x)=0x=0 eller x=6

Hvis x=0, er y=2x+3=20+3=3 eller hvis x=6, er y=2x+3=26+3=15.


2)

b)

Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:

a=2yx2+2x=2512+21=101+2=11. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.

c)

2yx2+2x=ay=0,5x2x+a2y2x=3y=2x+3Setter funksjonene lik hverandre0,5x2x+a2=2x+30,5x23x+(a23)=0

Dersom man får null under rottegnet i abc formelen har man en løsning. Dersom man får et negativt tall under rottegnet har man ingen løsning. To løsninger får man når uttrykket under rottegnet er positivt.

b24ac=0940,5(a23)=09a+6=0a=15

Man observerer at når a er større enn 15 er uttrykket negativt og likningsettet har ingen løsning.

Når a = 15 har det en løsning.

Når a er mindre enn 15 har settet to løsninger.

Alternativ II

a)

Vi deler opp arealet i to. Huset består av et kvadrat med areal aa=a2

og et rektangel med areal 3a(10a)=30a3a2

Det totale arealet blir da: a2+(30a3a2)=30a2a2


a=5305252=100 kvadratmeter

b)

F(a)=30a2a2F(a)=1122a2+30a112=0a=7a=8

c)

F(a)=30a2a2F(a)=304aF(a)=0304a=0a=7,5F(7,5)=112,5

Når a = 7,5m er huset 112,5 kvadratmeter

d)

2a2+30a=72a=3a=12

Huset er større enn 72 kvadrat meter når a er større enn 3m og mindre enn 12m