Grunnleggende algebra: Forskjell mellom sideversjoner
Ny side: Testside. Tester ut et format og en idé på hvordan den helt elementære algebraen kan fremstilles. Det er mange som f.eks henger seg veldig opp i at man plutselig har et tall midt oppe i ... |
m Teksterstatting – «<tex>» til «<math>» |
||
Linje 3: | Linje 3: | ||
==Likhetstegnet== | ==Likhetstegnet== | ||
I vanlig matematikk der man bruker de fire regneartene, pluss, minus, ganging og deling, får man som regel oppgavene oppstilt slik: | I vanlig matematikk der man bruker de fire regneartene, pluss, minus, ganging og deling, får man som regel oppgavene oppstilt slik: | ||
< | <math>5 + 3 = </tex> | ||
Selve oppgaven er 5 + 3, og man leser likhetstegnet som '''og svaret blir''' før man skriver 8 på høyresiden. Når man begynner med algebra lønner det seg derimot å tenke på likhetstegnet litt annerledes. | Selve oppgaven er 5 + 3, og man leser likhetstegnet som '''og svaret blir''' før man skriver 8 på høyresiden. Når man begynner med algebra lønner det seg derimot å tenke på likhetstegnet litt annerledes. | ||
< | <math>5 + 3 = 8</tex> | ||
Vi har fullført regnestykket over, og fra nå av tenker vi på likhetstegnet som '''venstresiden er helt lik høyresiden'''. | Vi har fullført regnestykket over, og fra nå av tenker vi på likhetstegnet som '''venstresiden er helt lik høyresiden'''. | ||
Det vi kan gjøre nå, er og fortsette å legge til regneoperasjoner. Det går helt fint så lenge vi gjør det samme på hver side av likhetstegnet! Vi kan gjøre hva vi vil så lenge vi beholder likheten. Vi kan for eksempel trekke fra 3 på begge sider. | Det vi kan gjøre nå, er og fortsette å legge til regneoperasjoner. Det går helt fint så lenge vi gjør det samme på hver side av likhetstegnet! Vi kan gjøre hva vi vil så lenge vi beholder likheten. Vi kan for eksempel trekke fra 3 på begge sider. | ||
< | <math>5 + 3 - 3 = 8 - 3</tex> | ||
Vi ser at tretallene på venstresiden går mot hverandre. | Vi ser at tretallene på venstresiden går mot hverandre. | ||
< | <math>5 + 0 = 8 - 3</tex> | ||
< | <math>5 = 8 - 3</tex> | ||
I stad hadde vi 8 på hver side, så trakk vi fra 3 på hver side og har nå 5 på hver side. Selv om verdiene har endret seg, har vi fortsatt likhet mellom begge sidene. Denne lille egenskapen til likhetstegnet er helt fundamental for all algebra. | I stad hadde vi 8 på hver side, så trakk vi fra 3 på hver side og har nå 5 på hver side. Selv om verdiene har endret seg, har vi fortsatt likhet mellom begge sidene. Denne lille egenskapen til likhetstegnet er helt fundamental for all algebra. | ||
==Ukjente tall: variabler== | ==Ukjente tall: variabler== | ||
Veldig ofte når vi regner i matematikken, jobber vi med et ukjent tall. Fra de vanlige regneoppgavene kan man tenke på dette som det ukjente svaret man skal frem til. | Veldig ofte når vi regner i matematikken, jobber vi med et ukjent tall. Fra de vanlige regneoppgavene kan man tenke på dette som det ukjente svaret man skal frem til. | ||
< | <math>5 + 3 = \text{Ukjent tall}</tex> | ||
Siden det dukker opp så ofte i regnestykker, og man etterhvert må skrive det så mange ganger når man regner algebra er det veldig upraktisk å skrive 'Ukjent tall' hver gang. Derfor forkorter man det med en bokstav. Man kaller det x. | Siden det dukker opp så ofte i regnestykker, og man etterhvert må skrive det så mange ganger når man regner algebra er det veldig upraktisk å skrive 'Ukjent tall' hver gang. Derfor forkorter man det med en bokstav. Man kaller det x. | ||
< | <math>5 + 3 = x</tex> | ||
Denne oppgaven kan man tenke på som at du har 5 kroner og en venn av deg har 3 kroner. Hvor mange penger har dere tilsammen? Dere har x kroner til sammen, og det kan du regne ut ved å legge sammen venstresiden. Dere har 8 kroner til sammen. | Denne oppgaven kan man tenke på som at du har 5 kroner og en venn av deg har 3 kroner. Hvor mange penger har dere tilsammen? Dere har x kroner til sammen, og det kan du regne ut ved å legge sammen venstresiden. Dere har 8 kroner til sammen. | ||
I andre tilfeller er det annerledes. Du og en venn samler alle pengene dere har, og dere teller opp 20 kroner. Du vet du hadde 13 kroner, men vennen din vet ikke hvor mye penger hun hadde. | I andre tilfeller er det annerledes. Du og en venn samler alle pengene dere har, og dere teller opp 20 kroner. Du vet du hadde 13 kroner, men vennen din vet ikke hvor mye penger hun hadde. | ||
< | <math>\text{Pengene til vennen din} + 13 = 20</tex> | ||
Det er igjen litt upraktisk å skrive hele setninger i regnestykket, og vi forkorter den ukjente størrelsen med variabelen x. | Det er igjen litt upraktisk å skrive hele setninger i regnestykket, og vi forkorter den ukjente størrelsen med variabelen x. | ||
< | <math>x + 13 = 20</tex> | ||
Nå blir det litt algebraregning. Vi husker at vi har likhet mellom venstresiden og høyresiden så lenge vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Nå som vi vil finne ut hva x er, vil vi prøve å få x alene på den ene siden av likhetstegnet. Det kan vi gjøre ved å trekke fra 13 på hver side. | Nå blir det litt algebraregning. Vi husker at vi har likhet mellom venstresiden og høyresiden så lenge vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Nå som vi vil finne ut hva x er, vil vi prøve å få x alene på den ene siden av likhetstegnet. Det kan vi gjøre ved å trekke fra 13 på hver side. | ||
< | <math>x + 13 - 13 = 20 - 13</tex> | ||
På venstresiden har vi 13-13 som blir null. | På venstresiden har vi 13-13 som blir null. | ||
< | <math>x + 0 = 20-13</tex> | ||
< | <math>x = 20-13</tex> | ||
På høyresiden har vi nå et vanlig regnestykke og vi er snart i mål. | På høyresiden har vi nå et vanlig regnestykke og vi er snart i mål. | ||
< | <math>x = 7</tex> | ||
Den ukjente verdien i dette regnestykke er altså 7! Vi husker at x var en forkortelse for 'Pengene til vennen din', som vi har funnet ved hjelp av algebra. | Den ukjente verdien i dette regnestykke er altså 7! Vi husker at x var en forkortelse for 'Pengene til vennen din', som vi har funnet ved hjelp av algebra. | ||
Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Testside. Tester ut et format og en idé på hvordan den helt elementære algebraen kan fremstilles. Det er mange som f.eks henger seg veldig opp i at man plutselig har et tall midt oppe i regnestykke. Er deler som kan utvides etterhvert; dette er bare et førsteutkast.
Likhetstegnet
I vanlig matematikk der man bruker de fire regneartene, pluss, minus, ganging og deling, får man som regel oppgavene oppstilt slik:
<math>5 + 3 = </tex>
Selve oppgaven er 5 + 3, og man leser likhetstegnet som og svaret blir før man skriver 8 på høyresiden. Når man begynner med algebra lønner det seg derimot å tenke på likhetstegnet litt annerledes.
<math>5 + 3 = 8</tex>
Vi har fullført regnestykket over, og fra nå av tenker vi på likhetstegnet som venstresiden er helt lik høyresiden.
Det vi kan gjøre nå, er og fortsette å legge til regneoperasjoner. Det går helt fint så lenge vi gjør det samme på hver side av likhetstegnet! Vi kan gjøre hva vi vil så lenge vi beholder likheten. Vi kan for eksempel trekke fra 3 på begge sider.
<math>5 + 3 - 3 = 8 - 3</tex>
Vi ser at tretallene på venstresiden går mot hverandre.
<math>5 + 0 = 8 - 3</tex>
<math>5 = 8 - 3</tex>
I stad hadde vi 8 på hver side, så trakk vi fra 3 på hver side og har nå 5 på hver side. Selv om verdiene har endret seg, har vi fortsatt likhet mellom begge sidene. Denne lille egenskapen til likhetstegnet er helt fundamental for all algebra.
Ukjente tall: variabler
Veldig ofte når vi regner i matematikken, jobber vi med et ukjent tall. Fra de vanlige regneoppgavene kan man tenke på dette som det ukjente svaret man skal frem til.
<math>5 + 3 = \text{Ukjent tall}</tex>
Siden det dukker opp så ofte i regnestykker, og man etterhvert må skrive det så mange ganger når man regner algebra er det veldig upraktisk å skrive 'Ukjent tall' hver gang. Derfor forkorter man det med en bokstav. Man kaller det x.
<math>5 + 3 = x</tex>
Denne oppgaven kan man tenke på som at du har 5 kroner og en venn av deg har 3 kroner. Hvor mange penger har dere tilsammen? Dere har x kroner til sammen, og det kan du regne ut ved å legge sammen venstresiden. Dere har 8 kroner til sammen.
I andre tilfeller er det annerledes. Du og en venn samler alle pengene dere har, og dere teller opp 20 kroner. Du vet du hadde 13 kroner, men vennen din vet ikke hvor mye penger hun hadde.
<math>\text{Pengene til vennen din} + 13 = 20</tex>
Det er igjen litt upraktisk å skrive hele setninger i regnestykket, og vi forkorter den ukjente størrelsen med variabelen x.
<math>x + 13 = 20</tex>
Nå blir det litt algebraregning. Vi husker at vi har likhet mellom venstresiden og høyresiden så lenge vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Nå som vi vil finne ut hva x er, vil vi prøve å få x alene på den ene siden av likhetstegnet. Det kan vi gjøre ved å trekke fra 13 på hver side.
<math>x + 13 - 13 = 20 - 13</tex>
På venstresiden har vi 13-13 som blir null.
<math>x + 0 = 20-13</tex>
<math>x = 20-13</tex>
På høyresiden har vi nå et vanlig regnestykke og vi er snart i mål.
<math>x = 7</tex>
Den ukjente verdien i dette regnestykke er altså 7! Vi husker at x var en forkortelse for 'Pengene til vennen din', som vi har funnet ved hjelp av algebra.
Det virker kanskje litt unødvendig å gjøre all denne regningen for noe man kanskje kan regne i hodet med en gang, men når man kan algebrareglene kan man finne ukjente verdier som det er helt umulig å se hva er.