1T 2010 høst LØSNING

DEL 1.

Oppgave 1

a)

<math> x+y=4 \wedge 3x - y =8</tex>

<math>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</tex>

<math>y=4-x \wedge 4x=12</tex>

<math>y=4-x \wedge x=3</tex>

<math>y=1 \wedge x=3</tex>

<math>x=3 \wedge y=1</tex>

b)

1)

2)

<math>- \frac14x+2 =2x- \frac52</tex>

<math>x+8 =8x- 10</tex>

<math>- 9x = - 18</tex>

<math>x = 2</tex>

c)

<math>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</tex>

d)

<math> \frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\ \frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}

</tex>

e)

Bruker abc formelen og faktoriserer:

<math>x^2+2x-8 \geq 0 \\ (x+4)(x-2) \geq 0</tex>

Tegner fortegnsskjema:

<math>x \in < \leftarrow, -4] \cup [2, \rightarrow ></tex>

f)

g)

1)Sannsynlighet for å like begge:

<math>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac 35</tex>

2) Sannsynligheten for bare å like en:

<math>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</tex>

Oppgave 2

a)

<math> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</tex>

b)

<math>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</tex>

Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.

c)

<math>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</tex>

<math>f(0)= 7 \\ f(2) = \frac{17}{3} </tex>

Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.

Maksimumspunkt: <math>(0, 7)</tex>

Minimumspunkt:<math>(2, \frac{17}{3})</tex>

DEL 2

Oppgave 3

a)

b)

Det vil finne sted når brøkeksponenten er en, altså etter 5730 år.

c)

<math>T(x) = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ x = 5730 \cdot \frac{lg 0,865}{lg 0,5} = 1200

</tex>

Brønnen var ca. 1200 år gammel.

Oppgave 4

a)

<math> tan(51,3^{\circ}) = \frac{h}{10m}\\ \Downarrow \\

x= 10 \cdot tan(51,3^{\circ})\\ \Downarrow \\ x = 12,48 m</tex>

b)

<math> \frac{Sin (15,4 ^{\circ})}{40m} = \frac{Sin (94,9 ^{\circ})}{AB} \\ \Downarrow \\ AB = 150m </tex>

c)

Finner først en vinkel ved å bruke cosinussetningen. Bruker så arealsetningen.

<math> 14^2 = 24^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot cos A \\ cos A = \frac{14^2-24^2-20^2}{-2 \cdot 20 \cdot 24}\\ A= 35,7^{\circ}</tex>

Dette er vinkelen mellom sidene som er 24m og 20m. Arealet blir:

<math>A= \frac 12 \cdot 20m \cdot 24m \cdot sin 35,7^{\circ}= 140m^2</tex>

Oppgave 5

a)

b)

<math>P(oensker \quad ballbinge) = \frac{130}{240} = 0,54 </tex>

c)

<math> P(mann \quad gitt \quad oensker \quad ballbinge) = \frac{63}{130} = 0,48 </tex>

d)

<math> \frac{130+x}{240 + x} = 0,75 \\ x = 200</tex>

Det må verves 200 personer som ønsker ballbinge.

Oppgave 6

a)

Den faste månedsprisen er ca. 90 kroner, lest av graf.

Pris for 500 minutter er 340kr. Prisen per ringeminutt blir da:

<math>\frac{340kr - 90kr}{500min} = 0,50kr/min </tex>

b)

c)

Dersom man ringer mindre enn 63 min. per måned er A billigst.

Dersom man ringer mellom 63 min. og 384 min. er B billigst.

Over 384 min. er C billigst

Oppgave 7

a)

Sannsynlighet for at alle er på Facebook: P(alle er på) = <math>(0,95)^{25} = 0,277 </tex>

Det er 27,8% sannsynlighet for at alle er på.

b)

<math> P(flere \quad enn \quad 20)=P(X=21) +P(X=22) + P(X=23) +P(X=24)+P(X=25) = \\ \left ({25}\\{21} \right) 0,95^{21} \cdot 0,05^{4} + \left ({25}\\{22} \right) 0,95^{22} \cdot 0,05^{3} + \left ({25}\\{23} \right) 0,95^{23} \cdot 0,05^{2} + \left ({25}\\{24} \right) 0,95^{24} \cdot 0,05^{1} + \left ({25}\\{25} \right) 0,95^{25} \cdot 0,05^{0} = 0,992</tex>

Det er 99,2% sannsynlig at mer enn 20 har profil på Facebook.

Oppgave 8

Alternativ 1

a)

<math> f(x) = -2x^2 + ax + 4 \\ f'(x) = -4x + a \\f'(x) = -4x + 2 \\ f'(x) = 0\\ -4x + 2 = 0 \\ x = \frac 12</tex>

Toppunkt <math>( \frac 12,\quad f(\frac 12))</tex> dvs. <math> (\frac12,\quad \frac 92)</tex>

b)

<math>f'(-1) = 0 \Rightarrow -4(-1) + a = 0 \Rightarrow a=-4</tex>

c)

Ser at funksjonen har konstantledd lik 4. Det betyr at grafen alltid går gjennom punktet (0,4) uansett x og a verdier. Den laveste verdi for toppunktet blir derfor når x = 0. Altså når det er symmetri om y aksen

<math>x= \frac a{-4} \Rightarrow 0 = \frac a{-4} \Rightarrow a=0</tex>

dersom man bruker glider på a i Geogebra løser man både b og c ved inspeksjon.

Alternativ 2

a)

Bruker pytagoras: Desom trekanten er rettvinklet må siden på 27cm være hypotenusen.

<math>(27cm)^2 = 729 cm^2</tex>

må da være lik summen av kvadratene utspendt av eventuele kateter:

<math>(20cm)^2 + (12cm)^2 = 544cm^2 </tex>

Hvilket betyr at trekanten IKKE er rettvinklet.

b)

Kaller det ukjente katetet for x og hypotenusen for y.

<math>2+x+y = 6 \quad \wedge \quad 2^2 + x^2 = y^2 \\ x=4-y \quad \wedge \quad 4+ x^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + (4-y)^2 = y^2x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + 16 - 8y + y^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 8y = 20 \\ x = 1,5 \quad \wedge \quad y = 2,5</tex>

c)

Motstående side til vinkelen på 120 grader kaller vi y. Den ukjente tilstøtende siden til vinkelen på 120 grader blir da 4-y. Cosinussetningen gir:

<math>y^2 = 2^2 + (4-y)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (4-y) \cdot cos120 \\ y^2 = 4 +16 -8y +y^2+8 -2y \\ 10y=28\\y=2,8</tex>

Dvs: x = 1,2m og y = 2,8m