1T 2012 vår LØSNING

Opgave 1

a)

1) <tex> 8+2 \cdot 3 - 3^2 - (10-12)^2 = 8 + 6 - 9 -4 =1</tex>

2) <tex> \frac{9^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{(3^{-2})^3} = \frac{(3^2)^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{3^{-6}} = 3^{1-3+6} =3^4 = 81 </tex>

b)

<tex>5,5 \cdot 10^5 \cdot 6,0 \cdot 10^6 = 5,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{11} =33,0 \cdot 10^{11} = 3,3 \cdot 10^{12} </tex>

c)

<tex>\left[{ x+2y =16 \\ 3x-y=6 }\right] \\ \left[{ x =16-2y \\ 3(16-2y)-y=6 }\right] \\ \left[{ x =16-2y \\ 48-6y-y=6 } \right] \\ \left[{ x =16-2y \\ y=7 } \right] \\ \left[{ x = 2 \\ y=7 } \right] </tex>

d)

<tex>2x-3=6- \frac 14x</tex>

Grafisk løsning

Man observerer at: x = 4

e)

<tex>-x^2-x+13 \geq 0</tex>

Faktoriserer (abc-formelen) og får:

<tex>-(x+4)(x-3) \geq 0</tex>

Fortegnsskjema:

<tex> x \in [-4,3]</tex>

f)

Man ser at uttrykket i teller er det samme som uttrykket i e.

<tex>\frac{-x^2-x+12}{x^2-9} = \frac{-(x+4)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = - \frac{x+4}{x+3}</tex>

g)

I et Venndiagram ser situasjonen slik ut:

Fra diagrammet ser man at sannsynligheten for at eleven spiller håndball når man vet at eleven spiller fotball er seks femtenedeler.

<tex>P(haandball | fotball) = \frac {6}{15}</tex>

h)

Siri = x

Marit = 3(x-4)

Karen = (3(x-4))/2

Siri + Marit + Karen = 26

<tex>x + 3(x-4) + \frac 32 (x-4) = 26 \\ 2x+3x+6x = 88 \\ x= 8</tex>

Siri er 8 år.

Marit er 12 år.

Karen er 6 år.

i)

1)

AC = AB = 3

Bruker pytagoras:

<tex>(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 \\ (BC)^2 = 9+9 \\BC = \sqrt{18} = \sqrt {9 \cdot 2} = 3\sqrt 2</tex>

2)

<tex>cos 45 = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac{1 \cdot \sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt 2 } = \frac{\sqrt2}{2}</tex>

Oppgave 2:

<tex>f(x) = x^2-2x +a</tex>

a)

f(0) = a ,dvs. a må være lik 2.

b)

<tex>f(3)= 0 \\ 3^2-2 \cdot 3 + a = 0 \\ a= -3</tex>

c)

f'(x) = 2x-2

f'(x) = 0

2x - 2 = 0

x = 1

f(1) = 5

1-2+a =-5

a=-4

d)

Dersom <tex>b^2-4ac </tex> er null har funksjonen ett nullpunkt.Dersom <tex>b^2-4ac </tex> er større enn null har den to.

<tex> (-2)^2-4a \geq 0 \\ a\leq 1</tex>