Trekanter: Forskjell mellom sideversjoner
| Linje 76: | Linje 76: | ||
[[Fil:Cevas.png]] | [[Fil:Cevas.png]] | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Man har en tifeldig trekant ABC. Man merker av punktene D på BC, E på AC og F på AB. Linjen AD, BE og CF vil møtes i ett punkt | Man har en tifeldig trekant ABC. Man merker av punktene D på BC, E på AC og F på AB. Linjen AD, BE og CF vil møtes i ett punkt hvis og bare hvis (ekvivalens) følgende relasjon er oppfylt:<p></p> | ||
<tex>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot {CE}{EA} = 1</tex> | |||
[[Kategori:Geometri]] | [[Kategori:Geometri]] | ||
Sideversjonen fra 15. mai 2012 kl. 11:04
12.3.1. Trekanter
En trekant har tre vinkler og tre sidekanter.
Vinkelsummen av en trekant er 180°
A + B + C = 180°
Arealet av en trekant er
Der G er grunnlinja og h er høyden av trekanten.
Figuren under viser hvorfor formelen for arealet er slik.
Rettvinklet Trekant
En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Begge katetene vil alltid utgjøre vinkelbeina i den rette vinkelen. Hypotenusen vil alltid være den lengste siden i trekanten.
De to katetene <tex>k_1</tex> og <tex>k_2</tex> og hypotenusen <tex>h</tex> er relatert ved pythagorassetningen:
<tex>k_1^2+k_2^2=h^2</tex>
Likebeint Trekant
Dersom to av sidene i en trekant er like lange er trekanten likebeint. "Pinnene" på sidene AC og BC markerer at disse sidene er like lange. Når to sider i en trekant er like lange medfører det at to vinkler er like store. I dette eksempelet er vinkel A og vinkel B like store.
Likesidet Trekant
I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene er 60°. Legg merke til at dersom man halverer en av sidene i trekanten dannes to trekanter som begge er 30°, 60° og 90°. Dette bør man huske fordi det er nyttig i mange sammenhenger.
Stompvinklet trekant
Omsenter
Midtnormalene på sidene i en trekant møtes i et punkt. Dette punktet er sammenfallende med sentrum i den omskrevne sirkelen til trekanten, og kalles for omsenter.
Innsenter
Vinkelhalveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i et punkt. Dette punktet er sammenfallende med sentrum i sirkelen innskrevet i trekanten. Punktet kalles trekantens innsenter.
Tyngdepunkt
En median er en linje fra et hjørne i trekanten, til midtpunktet på motstående side. Når man trekker alle tre medianene vil disse skjære hverandre i trekantens tyngdepunkt.
Ortosenter
Punktet der høydene i trekanten møtes kalles ortosenteret.
Cevas setning
Man har en tifeldig trekant ABC. Man merker av punktene D på BC, E på AC og F på AB. Linjen AD, BE og CF vil møtes i ett punkt hvis og bare hvis (ekvivalens) følgende relasjon er oppfylt:
<tex>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot {CE}{EA} = 1</tex>