|
|
| Linje 1: |
Linje 1: |
| == Del 1 == | | == Del 1 == |
|
| |
|
| | === Oppgave 1a) === |
|
| |
|
|
| |
|
| == Del 2 ==
| |
|
| |
|
| | === Oppgave 1b) === |
| | |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1c) === |
| | |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1d) === |
| | |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1e) === |
| | |
| | |
| | '''1)''' |
| | |
| | |
| | '''2)''' |
| | |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1f) === |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1g) === |
| | |
| | |
| | === Oppgave 1h) === |
|
| |
|
|
| |
|
| === '''Oppgave 3''' ===
| | '''1)''' |
|
| |
|
| a) <p></p>
| |
| Arealet av trekanten kan skrives på to måter:<p></p>
| |
|
| |
|
| | '''2)''' |
|
| |
|
| <tex> \frac {a \cdot b} {2} = \frac {c \cdot h} {2} </tex> dvs<p></p>
| |
|
| |
|
| <tex> a \cdot b = c \cdot h </tex><p></p>
| |
|
| |
|
| Pytagoras gir
| | === Oppgave 2a) === |
| <tex> a^2 + b^2 = c^2</tex> der <tex> c= \frac{ab}h </tex> (fra injene over)<p></p>
| |
|
| |
|
| Det gir:<p></p>
| |
|
| |
|
| <tex> a^2 + b^2 =( \frac{ab}h)^2</tex> <p></p>
| | === Oppgave 2b) === |
| <tex> a^2 + b^2 = \frac{a^2b^2}{h^2} </tex> <p></p>
| |
|
| |
|
| <tex> \frac{a^2}{a^2b^2} + \frac{b^2}{a^2b^2} =\frac{1}{h^2} </tex>
| |
| <p></p>
| |
| <tex> \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} =\frac{1}{h^2} </tex>
| |
| Hvilket skulle vises.
| |
|
| |
|
| ----
| |
| b)
| |
|
| |
|
| <tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [bc,ac, ab] </tex> <p></p> Arealet av trekanten blir da
| | == Del 2 == |
| <tex> \frac12 \sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} </tex>
| |
|
| |
|
|
| |
|
| ----
| | === Oppgave 3a) === |
| c) <p></p>
| |
| <tex> F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2+F_{\triangle OBC}^2+F_{\triangle OAB}^2</tex>
| |
| <p></p>
| |
| Fra b har man at <p></p>
| |
| <tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>
| |
| Man finner så arealet av de tre andre trekantene ved å bruke vektorproduktet, og får:<p></p>
| |
|
| |
|
| <tex> F_{\triangle OAC}^2 = \frac14 (a^2C^2)</tex><p></p>
| |
| <tex> F_{\triangle OBC}^2 = \frac14 (b^2c^2)</tex><p></p>
| |
| <tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (a^2b^2)</tex><p></p> Man ser da et arealsetningen er riktig.
| |
|
| |
|
| ----
| | === Oppgave 3b) === |
| d)
| |
| <p></p>
| |
| Volumet av figuren OABC kan skrives:<p></p> <tex> \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot \frac13 = F_{\triangle ABC} \cdot h \cdot \frac13 </tex><p></p>
| |
| som gir:
| |
|
| |
|
| <tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h}</tex>
| |
|
| |
|
| ----
| | === Oppgave 3c) === |
| e)<p></p>
| |
| Man har:
| |
|
| |
|
| <tex> F_{\triangle ABC}^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex>
| |
| og <tex> F_{\triangle ABC} = \frac{ a \cdot b \cdot c}{2h} </tex>
| |
| Kombinert gir det<p></p>
| |
|
| |
|
| <tex> (\frac{ a \cdot b \cdot c}{2h})^2 = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex><p></p>
| | === Oppgave 3d) === |
| <tex> \frac{ a^2 \cdot b^2 \cdot c^2}{4h^2} = \frac14 (b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2)</tex><p></p>
| |
| <tex> \frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} </tex>
| |