|
|
| Linje 46: |
Linje 46: |
|
| |
|
| <tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow x=100</tex> | | <tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow x=100</tex> |
|
| |
|
| |
| === Oppgave 2 ===
| |
| a)<p></p>
| |
|
| |
| <tex> \vec{AB} = [-3, 2, 2] </tex> og <tex> \vec{AC} = [-2, -1, 6] </tex>
| |
| <p></p>
| |
|
| |
| <tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [12+2,-(-18+4), 3+4]= [14, 14, 7] </tex>
| |
| <p></p>
| |
| b)<p></p>
| |
| Normalvektoren til planet som går gjennom punktene A, B og C er <tex> \frac17[14, 14, 7] = [2, 2, 1]</tex>
| |
| <p></p> Ett vilkårlig punkt i planet er P= (x,y,z).<p></p>
| |
| <tex> \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0 , [x-3 , y-0, z+2] \cdot [2, 2, 1] = 0 </tex><p></p>
| |
| <tex> \alpha: 2x + 2y + z - 4 = 0 </tex>
| |
| <p></p>
| |
| c)<p></p>
| |
| Siden linjen står vinkelrett på alfa planet kan vi bruke [2, 2, 1] som rettningsvektor for linjen l. Linjen går gjennom P = (5, 4, 4). Man får da:<p></p>
| |
| [x,y,z] = [5, 4, 4] + t [2, 2, 1] som er ekvivalent med
| |
| <tex>
| |
| n:
| |
| \left [
| |
| x = 5+ 2t\\
| |
| y = 4 + 2t \\
| |
| z = 4 + t \right]</tex><p></p>
| |
| I xz-planet er y = 0. Parameterfremmstillingen for linjen gir da t=-2. Innsatt for x og z gir det koordinatene (1, 0 2)<p></p>
| |
|
| |
| d)<p></p>
| |
|
| |
| Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:<p></p>
| |
| <tex> V_{ABCQ} = \frac16|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}|</tex>
| |
| <p></p>
| |
| <tex> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </tex>
| |
| innsatt i likningen over gir det:<p></p>
| |
| <tex> V_{ABCQ} = \frac16|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] | = \frac73|5t+12|</tex>
| |
| <p></p>
| |
| e)<p></p>
| |
| Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det |5t+12|= 18 som gir<p></p>
| |
|
| |
| 5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 <p></p>
| |
| <tex>t = \frac{6}{5}</tex> eller <tex>t = 6</tex><p></p>
| |
| Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:
| |
| <p></p>
| |
| <tex> Q= ( \frac{37}{5}, \frac{32}{5}, \frac{26}{5})</tex> eller Q = (-7, -8, - 2).<p></p>
| |
|
| |
| == Del 2 ==
| |
|
| |
|
| |
| === oppgave 3 ===
| |
|
| |
| === oppgave 4 ===
| |
| <tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot (sinx + cosx) </tex> der <tex> x \in <0,15> </tex> <p></p>
| |
| a)<p></p>
| |
|
| |
|
| |
| Grafen ser slik ut:<p></p>
| |
|
| |
| [[bilde:graf1.png]]
| |
| <p></p>
| |
| ''Den deriverte er også med (stiplet) fordi den skal finnes i c.''<p></p>
| |
| <p></p>
| |
| b)<p></p>
| |
| Nullpunkter <p></p>
| |
| f(x)=0 <p></p>
| |
| <tex> 5e^{-0,2x}</tex> kan aldri bli null. Man får <p></p>
| |
| <tex>sinx +cosx =0 \\
| |
| tanx = -1\\
| |
| x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in (( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0))</tex>
| |
| <p></p>
| |
| Regner man om fra eksakte verdier, til desimaltall, ser man at det stemmer med grafen i a.
| |
| <p></p>
| |
| c)<p></p>
| |
| <tex> f'(x)=5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sinx + cosx)+5e^{-0,2x} \cdot (cosx -sinx)\\
| |
| = -e^{-0,2x} \cdot sinx -e^{-0,2x} \cdot cosx +5e^{-0,2x} \cdot cosx - 5e^{-0,2x} \cdot sinx \\
| |
| 4e^{-0,2x} \cdot cosx - 6e^{-0,2x} \cdot sinx =2e^{-0,2x} \cdot (2cosx-3sinx) </tex>
| |
| <p></p>
| |
| d)<p></p>
| |
| Man har et toppunkt hver gang den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ. Ved å løse 2cosx - 3sinx = 0 og å tegne fortegnslinje, finner man at det er tilfelle for x=0,59 , x=6,87 og for x= 13,15. Sett disse x verdiene inn i funksjonsuttrykket og man får funksjonsverdien til toppunktene.
| |
| <p></p>
| |
| e)<p></p>
| |
| <tex> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</tex> Punktet (1,1) ligger i første kvadrant.<tex>tan \phi = 1</tex> Man får da:<p></p>
| |
| <tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex>
| |
|
| |
| <p></p>
| |
| f)<p></p>
| |
| <tex>sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex> varier i verdi mellom -1 og 1, avhengig av x. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området
| |
| <tex> \pm5\sqrt2e^{-0,2x}</tex>
| |
|
| |
| [[bilde:4f.png]]
| |
|
| |
| === oppgave 5 ===
| |
|
| |
| === oppgave 6 ===
| |
Del 1
Oppgave 1a)
1) <tex>f(x)=x^3\ln(x)\Rightarrow f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</tex>
2) <tex>g(x)=4e^{x^2-3x}\Rightarrow g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</tex>
Oppgave 1b)
1) La <tex>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</tex>. Da er <tex>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</tex>, og <tex>x-2</tex> er en faktor i <tex>P(x)</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8
</tex>. Vi ser videre at <tex>-2</tex> er en rot i polynomet <tex>x^2-2x-8</tex>, så <tex>x+2</tex> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <tex>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</tex>, så <tex>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</tex>
2) <tex>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</tex>. P(x) har nullpunkter i <tex>x=-2</tex>, <tex>x=2</tex> og <tex>x=4</tex>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <tex>x<-2</tex> er hver av de tre faktorene i <tex>P(x)</tex> negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>-2<x<2</tex> er to av faktorene negative og <tex>P(x)>0</tex>. Dersom <tex>2<x<4</tex> er nøyaktig én faktor negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>x>4</tex> er alle faktorene positive, og <tex>P(x)>0</tex>. Ulikheten <tex>P(x)\leq 0</tex> er følgelig tilfredsstilt for <tex>x\leq -2</tex> og <tex>2\leq x\leq 4</tex>.
Oppgave 1c)
<tex>\text{Per er fra Bergen}\Rightarrow \text{Per er fra Norge}</tex>. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)
Oppgave 1d)
1) La <tex>\vec{a}=[3,5]</tex>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <tex>2</tex>, og snur retningen ved å multiplisere med <tex>-1</tex>. Det følger at <tex>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</tex>
2) For at <tex>\vec{c}=[x,y]</tex> skal stå normalt på <tex>\vec{a}</tex>, må <tex>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</tex>. Et naturlig valg er <tex>x=5</tex>, <tex>y=-3</tex>, så <tex>\vec{c}=[5,-3]</tex>.
Oppgave 1e)
<tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow x=100</tex>