Introduksjon til komplekse tall

Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.

Introduksjon

Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er

<tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex>

Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.

Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.

Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at

<tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.

Motsatt vei har vi

<tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex>

Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da

<tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex>

På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.

Elementære egenskaper

Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.

Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.

Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved

<tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex>

Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:

<tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

og

<tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex>

Så vi får som resultat at

<tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex>

og

<tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex>

Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er

<tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex>

Sammenheng med komplekse tall

Det følger ganske smertefritt fra diskusjonen ovenfor at

1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex>

2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex>

3) <tex>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex>

Ettersom vi har at <tex>AB=BA</tex> og <tex>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <tex>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.

Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <tex>(1,0)</tex> for <tex>1</tex> og <tex>(0,1)</tex> for <tex>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <tex>a+bi</tex> for tall <tex>a</tex> og <tex>b</tex>, og vi har

<tex>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex>

og

<tex>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex>

Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.

Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.