Gruppeteori

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:

1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)

2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)

3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)

4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)

5. <tex>a*b=b*a</tex>

En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.

For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene

1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex>

2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex>

3. <tex>a^0 = e</tex>

Eksempel 1

Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.

Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.

Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.

Eksempel 2

La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer

<tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex>

definer så

<tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex>

kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.

Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.

Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex>

Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.

Identitetselementet er unikt

Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .

Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.

Inverser er unike

Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.

Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.

Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.

Undergrupper

La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.

To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.

Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper

De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.

Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.

Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.

Orden

Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.

Sykliske grupper

En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.

Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.

Sideklasser

La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en ekvivalensrelasjon på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved

<tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex>

For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.

Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex>

Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da

<tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex>

som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.

Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:

1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex>

2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex>

3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex>

4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex>

5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.

6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.

Lagranges Teorem

La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.

Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.

Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at

<tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex>

da følger det at

<tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex>

som beviser teoremet.

Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.

For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.

Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at

<tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex>

eller

<tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex>

Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:

1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.

2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.

3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.

Normale undergrupper og kvotientgrupper

La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.

1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex>

2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex>

3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex>

4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.

En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.

For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.

Kvotientgrupper

Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.

La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.

Homomorfier

La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon

<tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex>

som bevarer gruppestrukturen, dvs.

<tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex>

La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som

<tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex>

De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.

1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex>

2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex>

3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.

4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex>

5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex>

6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex>

7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex>

8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex>

9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.

10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:

i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex>

ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.

iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.

Det første isomorfiteoremet

Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er

<tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex>

definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.

Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.

Bevis:

Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:

<tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.

Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.

Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.

Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.

Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex>

Senteret til en gruppe

Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex>

Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.

Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.

Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.

Ytre produkter av grupper

La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex>

Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.

Undergrupper

Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.

Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.

Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.