Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
Linje 23: | Linje 23: | ||
<tex>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</tex><p></p> | <tex>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</tex><p></p> | ||
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p> | Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p> | ||
<tex>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \ | <tex>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </tex> som gir:<p></p> | ||
<tex>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</tex> | <tex>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</tex> | ||
---- | ---- | ||
[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] | [[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] |
Sideversjonen fra 22. sep. 2011 kl. 10:45
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.
Spissvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:
<tex>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</tex>
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
<tex>h^2 + (c-x)^2 = a^2</tex>
<tex>b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2 \\
a^2 = b^2 + c^2 -2cx</tex>
Finner cosA:
<tex>cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</tex>
og får:
<tex>a^2 = b^2 + c^2 -2bc cosA</tex>
Stompvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
<tex>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \\ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</tex>
Bruker pytagoras på trekanten DAC:
<tex>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</tex>
Kombinere resultatene og får:
<tex>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</tex>
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:
<tex>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </tex> som gir:
<tex>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</tex>