Delbarhet og faktorisering

Det kanskje viktigste grunnlaget i tallteorien er hvordan de hele tallene kan faktoriseres og uttrykkes som produkter av primtall. Mange av de største resultatene i tallteoripensumet i Matematikk X kommer blant annet i fra det vi her skal finne ut om faktorisering og primtall.

Faktorer og delelighet

Hvis et tall <tex>a</tex> kan skrives som et produkt <tex>a = bc</tex> så sier vi at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex>. En kortere skrivemåte for å si at <tex>b</tex> og <tex>c</tex> er faktorer i <tex>a</tex> er <tex>b | a</tex> og <tex>c | a</tex>. Vi kan lese slike utsagn <tex>a | b</tex> på flere måter, som er oppsummert under:

Ekvivalente utsagn om faktorer og delelighet

Dersom heltallet <tex>a</tex> er en faktor i heltallet <tex>b</tex> skriver vi dette som <tex>a | b</tex>, og det betyr akkurat det samme som:

• <tex>a</tex> deler <tex>b</tex>
• <tex>a</tex> går opp i <tex>b</tex>
• <tex>b</tex> er delelig på <tex>a</tex>

De forskjellige utsagnene i boksen ovenfor er nok kjent for mange, men det er viktig å merke seg at alle sammen betyr det samme. Hvis 3 er en faktor i 12 så kan vi like gjerne si at 3 deler 12, at 3 går opp i 12, eller at 12 er delelig på 3. Hva vil det si at et tall er delelig på et annet?

Delelighet

Dersom et tall <tex>a</tex> deler et tall <tex>b</tex> eller sagt på en annen måte, at tallet <tex>b</tex> delelig på <tex>a</tex> så må tallet <tex>\frac{b}{a}</tex> være et helt tall.

Eksempel

Vi har at <tex>12 = 3 \cdot 4</tex>. Da kan vi si at <tex>3 | 12</tex> og <tex>4 | 12</tex>, eller med andre ord at 12 er delelig på 3 og 4. Når vi deler 12 på 3 eller 4 så får vi et helt tall.

Når vi arbeider med tallteori er det ofte nyttig å ha en annen måte å uttrykke delelighet på utenom forskjellige måter å ordlegge det på. Vi kan også uttrykke at et tall er faktor i et annet på følgende måte:

Dersom <tex>a | b</tex> så må det finnes et helt tall <tex>k</tex> som er slik at

<tex>b = k \cdot a</tex>

Hvis <tex>a</tex> skal være en faktor i <tex>b</tex> må det jo nettopp være slik at <tex>b</tex> er produktet av <tex>a</tex> og et eller annet tall <tex>k</tex>, der <tex>k</tex> da blir resten av faktorene som utgjør tallet <tex>b</tex>.

Eksempel

<tex>5</tex> er en faktor i <tex>30</tex>, for vi kan dele <tex>30</tex> på <tex>5</tex> og få heltallet <tex>6</tex>. Vi har at <tex>30</tex> kan skrives som

<tex>30 = 5 \cdot 6</tex>

og dette er på formen <tex>30 = 5 \cdot k</tex>, der <tex>k = 6</tex>.

Her er noen av de mest grunnleggende egenskapene ved delelighet:

Grunnleggende regler for delelighet

For alle heltall <tex>a</tex> gjelder følgende:

• <tex>1 | a</tex>
• <tex>a | a </tex>
• <tex>a | 0</tex>
• Hvis <tex>a | b</tex> og <tex>b | c</tex> så vil <tex>a | c</tex>
• <tex>a | b</tex> og <tex>b | a</tex> hvis og bare hvis <tex>a = \pm b</tex>

Hva sier reglene i boksen ovenfor? De tre første kjenner de fleste fra barne- eller ungdomsskolen. Tallet 1 deler alle tall. Vi kan dele et hvilket som helst tall på 1, og da får vi ut tallet selv. Utsagnet på den andre linjen sier at et tall <tex>a</tex> alltid er delelig med seg selv. Hvis vi deler et tall på seg selv får vi jo det hele tallet 1, så dette må stemme. Den tredje linjen sier at 0 er delelig på alle tall. Dette stemmer også, siden vi kan dele 0 på hva som helst, og da får vi 0, som er et helt tall.

De to siste egenskapene kan virke litt mindre elementære, men de er også ganske greie når vi ser litt nøyere på hva de sier. Den fjerde linja sier at hvis <tex>a</tex> er en faktor i <tex>b</tex> og <tex>b</tex> er en faktor i <tex>c</tex>, så må a også være en faktor i <tex>c</tex>. Se på noen tall og se om du får det til å stemme!

Den nederste egenskapen sier at dersom to tall er faktorer i hverandre så må de enten være like hverandre, eller motsatt like store av hverandre.

Primtallsfaktorisering

Hvis man ser på noen heltall vil man raskt oppdage at noen tall har flere faktorer, mens andre ikke har noen andre enn seg selv og 1. Vi kaller førstnevnte type tall for sammensatte tall. Tallene som bare har seg selv og 1 som faktor kaller vi primtall. Et viktig resultat i tallteorien er at primtallene er byggesteinene for alle andre tall:

Aritmetikkens fundamentalsetning

Et hvert tall <tex>n > 1</tex> kan skrives entydig som et produkt av primtall, når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.

Bevis

Aritmetikkens fundamentalteorem sier altså at du alltid kan faktorisere et tall til et produkt av primtall. Det sier videre at du bare kan gjøre dette på én måte (når vi ser bort i fra rekkefølgen til faktorene.)

Eksempel:

Vi har at

<tex>21 = 3 \cdot 7</tex>

<tex>102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17</tex>

<tex>999 = 9 \cdot 111 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37</tex>

De tre sammensatte tallene kan altså skrives som et produkt av primtall. Hvis man ser bort i fra rekkefølgen til faktorene så er faktoriseringene ovenfor entydige. Det vil si at det garantert ikke finnes noen andre måter å faktorisere tallene på som et produkt av primtall.