Komplekse tall

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <tex>i^2</tex> er størrelsen som tilfredstiller <tex> i^2= -1</tex>.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av <tex>i^n</tex> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <tex>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</tex>

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <tex>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</tex> blir resultatet <tex>Z_3 = 3 + 4i</tex>

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket <tex>OZ_n</tex> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <tex>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</tex>. <tex>|Z_n|</tex> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <tex>Z_n</tex>

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZn og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZn.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet <tex> \overline{Z}= a-bi</tex> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

<tex>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</tex>

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

<tex>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</tex>

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

<tex>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</tex>

---