Tallfølger

En følge er en mengde hvor hvert element er assosiert med et positivt heltall <tex>n</tex>. Når vi skriver ut elementene etter stigende <tex>n</tex> får vi en følge.

En følge kan være uendelig lang eller ha et endelig antall elementer.

Eksempel

1,2,3,4,5

Dette er en endelig følge med 5 elementer.

---

2,4,6,8,...

Dette er en uendelig lang følge. De tre prikkene til sist kjennetegner dette.

---

1,3,5,...,9

Denne følgen er endelig, men med mindre det er spesifisert vet vi ikke hvor mange elementer følgen består av.

Eksplisitte uttrykk

Følger kan uttrykkes som funksjoner <tex>a_n</tex> (sammenlign med <tex>f(x)</tex>), der <tex>n</tex> er et positivt heltall.

Eksempel

<tex>a_n=n\,,\,n\in[3,7]</tex>

Skriver vi ut denne følgen, får vi

3,4,5,6,7

---

<tex>a_n=n^2</tex>

Ettersom definisjonsmengden til <tex>n</tex> ikke er spesifisert, kan vi gå ut ifra at følgen omfatter alle <tex>n\in\mathbb{N}</tex>. Skriver vi ut følgen får vi da

1,4,9,16,25,...

Rekursive uttrykk

Det er også mulig å definere følger ved å relatere de forskjellige leddene med hverandre. Da får vi ligninger på formen

<tex>f(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0,n)=0</tex>

Hvis vi sammen med et slikt uttrykk har informasjon om ett av leddene, er følgen entydig bestemt.

Dette kalles et rekursivt uttrykk og vises best gjennom noen eksempler:

Eksempel

<tex>a_n=a_{n-1}+n\,,\,a_0=0</tex>

Ettersom ingen opplysninger og definisjonsmengden til <tex>n</tex> er gitt, kan vi gå ut ifra at følgen dekker alle positive heltallige <tex>n</tex>. Skriver vi ut følgen og starter fra <tex>n=0</tex>, får vi

0,1,3,6,10,15,...

I denne følgen er hvert ledd <tex>a_n</tex> summen av de <tex>n</tex> første heltallene. Dette ser vi også fra det rekursive uttrykket ved at hvert i hvert ledd legges det neste heltallet til summen av de forrige.

---

Følger trenger ikke være bestemt av én funksjon. Forskjellige funksjoner kan bestemme leddene i forskjellige deler av følgen.

<tex>a_n=\left{\begin{matrix} 0 & \text{if} & n=0 \\ 1 & \text{if} & n=1 \\ a_{n-1}+a_{n-2} & \text{if} & n>1 \end{matrix}</tex>

Hvis vi skriver ut denne følgen og starter fra <tex>n=0</tex>, får vi

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...

Denne følgen kalles Fibonaccifølgen og har mange interessante geometriske og tallteoretiske egenskaper. Blant annet vil forholdet mellom to påfølgende tall gå mot Det gylne snitt når <tex>n</tex> går mot uendelig.

Konvergens

Vi sier at en følge <tex>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</tex> konvergerer mot et element <tex>a</tex> dersom <tex>\lim_{n\to\infty}a_n=a</tex>. En aritmetisk følge vil derfor ikke konvergere siden den vokser ubegrenset.

Eksempel

Følgen definert ved <tex> f_n=\frac{1}{n}</tex> konvergerer mot <tex>0</tex> siden <tex>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</tex>

---

Tilbake til R2 Hovedside