1T 2024 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL EN

Oppgave 1

$u = 30 ^\circ$

$2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = 2 \cdot \frac 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2u blir 60 grader og fra figuren ser vi at $\sin(2u) = \sin (60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ så formelen stemmer.

Oppgave 2

Vi ser at dette er en andregradsfunksjon med nullpunkter for x= -3 og x = 1. Vi har symmetri så funksjonen vil ha sin laveste verdi når x = -1.

$f(-1) = (-1-1)(-1+3) = -2 \cdot 2 = -4$

Bunnpunkt (-1, 4)

Oppgave 3

Vi utfører en polynom divisjon for å faktorisere uttrykket.

Vi observerer at f(1) = 0, da er f delelig med (x-1).

$( x^3+7x^2+4x-12):(x-1) = x^2 + 8x +12 $

$-(x^3 - x^2)$

$\quad \quad \quad 8x^2+ 4x- 12$

$\quad \quad -( 8x^2 - 8x) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 12x - 12 $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -(12x - 12) $

$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 $

Så faktoriserer vi andregradsuttrykket:

Bruker ABC formelen og finner at $ x_1 = -6 \vee x_2 = -2$

Da har vi at $x^3 + 7x^2 + 4x - 12 = (x-1)(x+2)(x+6)$

Så lager vi et fortegnsskjema for å finne ut for hvilke verdier f(x) er negativ, null og positiv:

Da har vi et fortegnsskjema som viser når f er positiv og negativ. Dette stemmer med grafen nedenfor.

Da gjennstår det bare å se på $f(x) < 0 :$

f skal være mindre enn null. Det er den i området fra minus uendelig til -6 og mellom -2 og 1.

$x \in <\leftarrow, -6> \cup <-2, 1>$

Oppgave 4

a)

Tangens er sinus delt på cosinus. Tangens til 50 grader er større enn en fordi $\frac{0,77}{0,64}$ er større enn 1.

b)

Vinkelen befinner seg i andre kvadrant der cosinus er negativ og sinus positiv. Da er tangens negativ, altså mindre enn null.

Oppgave 5

Arealet av det store kvadratet:

$(t + s)(t + s) = t^2 + 2ts + s^2$

Dette er en matematisk identitet, 1. kvadratsetning. Det andre leddet på høyre side, 2ts er arealet av de to rektangelene i fuguren, som begge har areal t ganger s.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Abbonenter i 2010:

$P(0) = 3600 + 600 = 4200$, eller man kan lese av grafen på y aksen og få samme resultat.

b)

Mellom 2014 og 2024 mister avisen i gjennomsnitt 151 papir abonnenter per år.

c)

Dersom vi regner origo som 1. januar 2010 vi antall digitalabonnenter passere papirabonnentene på sommeren i 2021.

Oppgave 2

Vi har 12 likesidede trekanter. Vi bruker arealsetningen på en enkelt trekant og multipliserer med tolv, for å få arealet av hele stjernen: Alle sider i de små trekantene er 4 og alle vinkler er 60 grader.

$12A = 12 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3} $

Oppgave 3

For vertikal asymptote i 2, må nevner bli null for x=2.

Når x = - 3 må telleren bli null (nullpunkt). I tillegg må hele brøken gå mot 4 når x går mot uendelig.

Oppgave 4

a)

b)

100! er et stort tall. For at et tall skal slutte på null må det ha en faktor 10 i seg. For at det skal slutte på 00 - to nuller, ma det ha en faktor 10 i seg to ganger. Tallet 10 kan faktorisers til faktorene 5 og 2. Faktoren 2 finnes mange ganger i 100!, den er jo en faktor i alle partall. Hvor mange ganger finner man faktoren 5?

Dersom vi deler 100 på 5 får vi 20: 5, 10, 15,.............. 95, 100

Tall som 25, 50 75 og 100 bidrar med to femmerfaktorer.

Vi får da: $ \frac {100}{5^1} + \frac{100}{5^2} = 20 + 4 =24$

(Det minste tallet som bidrar med tre femmerfaktorer er 125, men det er jo ikke med.)

Oppgave 5

På linje 1 defineres f.

På linje 2 bruker man opplysningen om punktet (2,6)

På linje 3 bruker vi informasjon om koordinatene til toppunktet. Det andre kulepunktet i oppgaven inneholder dobbel informasjon: vi vet også at den deriverte er null når x = -2. Den informasjonen bruker vi i linje 4.

Informasjon om tangentens stigningstall i (3, f(3)) er brukt i linje 5.

Vi har nå fire likninger og fire ukjente og løser.

Oppgave 6

a)

Vi kan se på firkanten ABCD som to trekanter som ligger inntil hverandre, ACD og ABC. Vi kjenner alle sidene i trekantene og bruker Cosinussetningen for å finne en vinkel i hver trekant. Så bruker vi arealsetningen på hver av trekantene og legger sammen. For å bruke arealsetningen trenger vi to sider i trekanten og vinkelen mellom dem.

Arealet av firkanten er 73,1 kvadrat enheter.

b)

Diagonalen BD deler firkanten opp i to nye trekanter hvor alle vinkler er kjent (Den tredje vinkelen i en trekant finner du ved å ta 180 minus de to du allerede kjenner.). Bruk sinussetningen til å finne en side, for eksempel BD (sparer arbeid, da denne er en side i begge trekantene). Du kan nå bruke arealsetningen og kommer forhåpentligvis til å få samme svar som i a.

Oppgave 7

a)

100 m gjerde:

$100 = 2y + 4x + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot x$

Finner lengden av rektangelet, y, uttrykt ved x:

$y= 50 -2x - \sqrt{x}$

Arealet av grønnsakhagen blir:

$A(x) = y \cdot x + x^2 = (50 -2x - \sqrt{x})x + x^2 $

Når katetet er 8 meter er arealet 245,76 kvadratmeter (linje 2).

b)

Fra figuren i a ser vi at dersom katetet har en lengde på 10 meter vil arealet være i nærheten av sin maksimale verdi (259 kvadratmeter).

c)

d)

Det største arealet av hagen får man når katetene er 10,37 m. Da er arealet ca. 260 kvadratmeter.

e)

Den sorte linjen i koordinatsystemet viser lengden av y med økende x verdi. Det må presiseres at for denne linjen er det lengde i meter som vises, ikke kvadratmeter, som gjelder for arealgrafen. Når x går mot 14,64 meter går lengden av rektangelet, y, mot null. Gyldighetsområdet er derfor fra null til 14,64m. (Dersom man har litt peiling på kjøkkenhage ville man trolig sagt at gyldighetsområdet ligger i området 3- 11 meter. Man må kunne snu en trillebår og vel så det...)

$x \in <0, \quad 14,64>$