S2 2023 høst LØSNING

Oppgave 1

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$

Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Begge arealene er like store. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.

Oppgave 2

a)

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

b)

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

Oppgave 3

a)

Stigningstallet til en rett linje gjennom origo skjærer kostnadsfunksjonen i x = a. Stigningstallet gir oss enhetskostnaden ved produksjon av a enheter. I dette tilfellet har linjen som skjærer kostnadsfunksjonen i x = 40 stigningstall 81,75 kr. og er altså enhetskostnaden ved produksjon av 40 enheter.

b)

Grensekostnaden er sånn ca. hva det koster å øke produksjonen med en enhet, altså den deriverte i punktet. For 40 enheter ser man at stigningstallet til tangenten, den deriverte, er 31 kroner.

c)

Stigningstallet til den rette linjen som går gjennom origo og samtidig tangerer kostnadsfunksjonen gir den laveste enhetskostnaden, i dette tilfelle 60 kroner.

Oppgave 5

a)

Forventningsverdi 𝐸(𝑋)

Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:

$P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− \frac 14 - \frac 12= \frac 14$

$E(x) = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i) = 10 \cdot \frac 14 + 5 \cdot \frac 12 + 4 \cdot \frac 14 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6$

E(X) er 6 kg.

Varians, Var(x):

$Var(X) = E(X^2)-(E(X))^2$

$Var(X) = \sum_i x_i^2 \cdot P(X=x_i) - \mu^2$

$Var(X) =( 4^2 \cdot \frac 14 + 5^2 \cdot \frac 12 + 10^2 \cdot \frac 14) - 6^2$

$Var (x) = \frac{16}{4} + \frac{25}{2} + \frac{100}{4} -36 = 41,5 -36 = 5,5$

b)

Y er summen av vekten til to kuler.

Vi trekker en kule to ganger (med tilbakelegging), så vi må finne sannsynlighetene for summen av vektene til de to kulene. La $X_1$ og $X_2$ være vektene av de to kulene. De mulige verdiene av $𝑌 = X_1 + X_2$

Mulige Y verdier er:

$4+4= 8, \quad 4+5 = 9, \quad 4+10 = 14 $

$5+4= 9, \quad 5+5 = 10, \quad 5+10 = 15 $

$10+4= 14, \quad 10+5 = 15, \quad 10+10 = 20 $

$P(Y=8) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

$P(Y=9) = \frac 14 \cdot \frac 12 + \frac 12 \cdot \frac 14 = \frac {1}{4}$

$P(Y=10) = \frac 12 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=14) = \frac 14 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{8}$

$P(Y=15) = \frac 12 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=20) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

c)

$P(Y> 10)$

Vi summerer resultatene fra b som er større enn 10:

$P(Y=14)+ P(Y=15)+ P(Y=20) = \frac {1}{8} + \frac {1}{4} + \frac {1}{16} = \frac{7}{16}$

Sannsynligheten for at Y er større enn 10 er $ \frac {7}{16}$