S2 2023 høst LØSNING

Oppgave 1

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$

Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Begge arealene er like store. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.

Oppgave 2

a)

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

b)

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

Oppgave 5

a)

Forventningsverdi 𝐸(𝑋)

Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:

$P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− \frac 14 - \frac 12= \frac 14$

$E(x) = \sum_i x_i \cdot P(X=x_i) = 10 \cdot \frac 14 + 5 \cdot \frac 12 + 4 \cdot \frac 14 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6$

E(X) er 6 kg.

b)

Y er summen av vekten til to kuler.

Vi trekker en kule to ganger (med tilbakelegging), så vi må finne sannsynlighetene for summen av vektene til de to kulene. La $X_1$ og $X_2$ være vektene av de to kulene. De mulige verdiene av $𝑌 = X_1 + X_2$

Mulige Y verdier er:

$4+4= 8, \quad 4+5 = 9, \quad 4+10 = 14 $

$5+4= 9, \quad 5+5 = 10, \quad 5+10 = 15 $

$10+4= 14, \quad 10+5 = 15, \quad 10+10 = 20 $

$P(Y=8) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

$P(Y=9) = \frac 14 \cdot \frac 12 + \frac 12 \cdot \frac 14 = \frac {1}{4}$

$P(Y=10) = \frac 12 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=14) = \frac 14 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{8}$

$P(Y=15) = \frac 12 \cdot \frac 14 + \frac 14 \cdot \frac 12 = \frac {1}{4}$

$P(Y=20) = \frac 14 \cdot \frac 14 = \frac {1}{16}$

c)

$P(Y> 10)$

Vi summerer resultatene fra b som er større enn 10:

$P(Y=14)+ P(Y=15)+ P(Y=20) = \frac {1}{8} + \frac {1}{4} + \frac {1}{16} = \frac{7}{16}$

Sannsynligheten for at Y er større enn 10 er $ \frac {7}{16}$