Potenser: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 336: Linje 336:


   <td> an=a1n </td>
   <td> an=a1n </td>
   <td>325=3215=2</td>
   <td><math> \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} =  (2^5) ^{\frac 1 5}=2</math></td>
   <td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td>
   <td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td>
</tr>
</tr>
Linje 372: Linje 372:
'''Eksempel 13'''
'''Eksempel 13'''


325=3215=2
$ \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5} =2 $


</div>
</div>

Sideversjonen fra 7. mar. 2023 kl. 05:33

Potenser uten brøkeksponent

Innledning

1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.

Eksempel 1


1000=101010=103

En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet er 10 og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.


Eksempel 2


Tall 100000 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Potens 105 104 103 102 101 100 101 102 103

Potensene er alle tierpotenser, fordi grunntallet er 10. Eksponenten varierer fra 5 til -3.




Eksempel 3

36=333333=729

a4=aaaa

102=1010=100

109=101010101010101010=1000000000


Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.

Regneregler for potenser uten brøkesponent

Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.

Multiplikasjon av potenser

Dersom man skal multiplisere 43 med 44 får man;4344=4444444=43+4

Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:


anam=an+m


Eksempel 4

a3a2=a3+2=a5


Test deg selv

Divisjon av potenser

Den generelle regel for potensdivisjon er:

anam=anm


Eksempel 5

a3a2=a32=a1=a



Test deg selv

Potens av potenser

(an)m=anm


Eksempel 6


(a3)2=a32=a6



Test deg selv

Tall i nulte

Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.


a0=1


Eksempel 7


x5x2x7=x5+27=x0=1


Test deg selv

Negativ eksponent

an=1an


Eksempel 8


23=123=18



Test deg selv

Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall

ambm=(ab)m


Eksempel 9


2575=(27)5



Test deg selv

Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall

ambm=(ab)m


Eksempel 10


35x5=(3x)5



Test deg selv

Sammensatte problemer

Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:

Eksempel 11


(35)23491=3103432=310+4(2)=34=134=181


Eksempel 12

(a2b4)3b(a2b5)1a2b9=a6b12ba2b5a2b9=a6+2(2)b12+1+(5)9=a10b1=a10b




Test deg selv




Kvadratrot

Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives m

Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:

4=22=2

Mer generelt: dersom n·n = m så er: m=nn=n

Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.


Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!

Et kvadrat har sidekanter med lengde k.

Arealet av kvadratet er k · k, eller k 2. Dersom man setter k = 10 cm betyr det at arealet av kvadratet er 100cm 2. Dersom man kjenner arealet av et kvadrat kan vi bruke kvadratroten til å finne lengden av sidekantene.

Et kvadrat med areal 81 cm 2 har sidekanter med lengde:

L=81cm2=9cm

Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:

x=x2
Det er nyttig å vite dette, men man bruker x når man ønsker å skrive kvadratroten av x.


Test deg selv

n'terot

På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k 3 =k · k · k = 5cm · 5cm · 5cm = 125cm 3.


Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:

124cm33

Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:

an

Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.


164=22224=2
x55=xxxxx5=x


Test deg selv

Rot som potens & brøk eksponent

Regneregler

Nr. REGEL EKSEMPEL FORUTSETNING
1 an=a1n 325=3215=(25)15=2 a er et positivt tall og n er et naturlig tall
2 amn=amn=(an)m
2723=2723=(273)2=32=9 a er et positivt tall, m og n er hele tall og n er positiv
3 (ab)1n=abn=anbn (16x8)14=16x84=164x84=22224xxxxxxxx4=2x2
4 (ab)1n=abn=anan (827)13=8273=23



Eksempel 13

325=3215=(25)15=2



Eksempel 14

2723=2723=(273)2=32=9




Eksempel 15


(16x8)14=16x84=164x84=22224xxxxxxxx4=2x2



Eksempel 16


(827)13=8273=23




Test deg selv regel 1

Test deg selv regel 2

Test deg selv regel 3

Test deg selv regel 4

Samensatte problemer

Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:

Eksempel 17


Skriv aa23a16 enklest mulig.


aa23a16=a12+2316=a36+4616=a66=a


Eksempel 18


a3a4(a12)5=a13a14a512=a13+14512=a412+312512=a212=a16=a6


Eksempel 19


(3a)12(3a)23a12(3a5)16=312+2316a12+26(12)56=336+4616a36+26+3656=3a12=3a


Test deg selv