Potenser: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 336: | Linje 336: | ||
<td> | <td> | ||
<td> | <td><math> \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5}=2</math></td> | ||
<td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td> | <td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td> | ||
</tr> | </tr> | ||
Linje 372: | Linje 372: | ||
'''Eksempel 13''' | '''Eksempel 13''' | ||
$ \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5} =2 $ | |||
</div> | </div> |
Sideversjonen fra 7. mar. 2023 kl. 05:33
Potenser uten brøkeksponent
Innledning
1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.
Eksempel 1
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet
er 10
og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges
med seg selv.
Eksempel 2
Tall | 100000 | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Potens | | | | |
| | | | |
Eksempel 3
Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.
Regneregler for potenser uten brøkesponent
Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.
Multiplikasjon av potenser
Dersom man skal multiplisere
Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:
Eksempel 4
Divisjon av potenser
Den generelle regel for potensdivisjon er:
Eksempel 5
Potens av potenser
Eksempel 6
Tall i nulte
Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.
Eksempel 7
Negativ eksponent
Eksempel 8
Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall
Eksempel 9
Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall
Eksempel 10
Sammensatte problemer
Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:
Eksempel 11
Eksempel 12
Kvadratrot
Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives
Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:
Mer generelt: dersom n·n = m så er:
Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!
Et kvadrat har sidekanter med lengde k.
Arealet av kvadratet er k · k, eller k
Et kvadrat med areal 81 cm
Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:
Det er nyttig å vite dette, men man bruker
n'terot
På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k
Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:
Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:
Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.
Rot som potens & brøk eksponent
Regneregler
Nr. | REGEL | EKSEMPEL | FORUTSETNING |
1 | |
a er et positivt tall og n er et naturlig tall | |
2 | |
a er et positivt tall, m og n er hele tall og n er positiv | |
3 | |
|
|
4 | |
|
Eksempel 13
Eksempel 14
Eksempel 15
Eksempel 16
Samensatte problemer
Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:
Skriv