S1 2022 Vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Farhan Omar

DEL 1

Oppgave 1

$(2a)^{-1}\cdot (\frac{b}{2})^{-3}\cdot(a\cdot b)^3$

$=2^{-1}\cdot a^{-1}\cdot b^{-3}\cdot 2^3\cdot a^3 \cdot b^3$

$=2^{-1+3}\cdot a^{-1+3} \cdot b^{-3+3}$

$=2^2\cdot a^2 \cdot b^0$

$=4a^2$

Oppgave 2

$E(x)=0,2x+40+\frac{20\,000}{x}$

$E'(x)=0,2-\frac{20\,000}{x^2}$

$E'(100)=0,2-\frac{20\,000}{100^2} = 0,2-\frac{20\,000}{10\,000} = 0,2-2 =-1,8$

$E'(100)$ forteller oss at en dag det produseres 100 luer, ville produksjonskostnaden synke med 1,8 kroner per lue, dersom fabrikken skulle øke produksjonen med 1 lue.

Oppgave 3

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$

$=\lim\limits_{x \to 3} \frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{7}$

Oppgave 4

$e^{2x}-e^x=2$

$(e^x)^2-e^x-2=0$

Setter $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

$(u+1)(u-2)=0$

$u=-1 \vee u=2$

$e^x=-1 \vee e^x=2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$ln(e^x)=ln(2)$

$x=ln(2)$

Oppgave 5

$lg(x+3)+lg\,x=lg\,a$

Setter inn x=7.

$lg(7+3)+lg\,7=lg\,a$

$lg\,10 + lg\,7=lg\,a$

$lg(10\cdot7)=lg\,a$

$lg\,70 = lg\,a$

$a=70$

Oppgave 6

a)

Eleven ønsker å finne ut hvor stor andel av en million kast med to terninger, som ender med at summen av de to terningene er 9 (i samme kast).

Linje 1: importerer "randint"-funksjonen fra "random"-biblioteket Linje 4: setter variabelen N til en million Linje 5: setter variabelen "gunstige" til null

Line 7: dette er en for-løkke, som går N ganger, altså en million ganger i dette tilfellet.

Linje 8-9 (inni for-løkka): to tilfeldige tall, a og b, genereres med "randint"-funksjonen. Tallene a og b er mellom 1 og 6 (tilsvarende 2 terninger).

Linje 10-11 (inni for-løkka): en if-setning sier at dersom summen av tallene a og b er lik 9, økes variabelen "gunstige" med 1.

Linje 13: her skrives andelen gunstige utfall ut, altså antall ganger summen av "terningene" ble 9, delt på antall forsøk (en million terningkast med to terninger).

b)

Sum 9 på to terninger er mulig å oppnå på 4 måter: 6+3, 5+4, 4+5, 3+6. Totalt er det 6*6=36 mulige utfall ved kast av to terninger.

Vi har at $P(sum\,9) = \frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

DEL 2

Oppgave 1

a)

Velger å la x-verdiene være antall år etter 1960, og bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

Velger en eksponentiell modell, da denne passer godt til dataene vi har. I tillegg er det usannsynlig at antall gårdsbruk i Norge blir null, så en eksponentiell modell hvor antall gårdsbruk fortsetter å avta uten å bli null, passer godt.

Modellen er $g(x)=207814\cdot 0,972^x$

b)

Skriver x=100 i Geogebra (tilsvarer 100 år etter 1960, altså 2060) og finner skjæringspunktet mellom x=100 og grafen til g. Se punkt A=(100,12061). Ifølge modellen min vil det være 12061 gårdsbruk i Norge i 2060.

c)

Bruker CAS i Geogebra og løser likningen $g'(x)=-1000$. CAS regner ut at $x=62,4$. Det vil si at ifølge modellen min, vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000, ca. 62 år etter 1960, altså i år 2022.

Oppgave 2

a)

Vi må gå ut fra at:

- sannsynligheten for at en oppkjøring blir bestått, er en uavhengig hendelse (ulike oppkjøringer påvirker ikke hverandre)

- det er kun to utfall: bestått eller ikke bestått (dette kan vi trygt anta)

- det er en fast sannsynlighet for at en oppkjøring blir bestått (0,74)

b)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen er 0,821

c)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

P(5 av 7 gutter OG 4 av 5 jenter) = 0,315*0,3898 = 0,123

Sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen er 0,123

Oppgave 3

a)

Årlig vekstfaktor: $1,003^{12}=1,037$

Årlig rentesats er 3,7 %

b)

Bruker CAS i Geogebra.

Kan bruke månedlig eller årlig vekstfaktor. Det går ca. 44 måneder, eller 3 år og 8 måneder, før han har 80 000 kr på kontoen.

c)

$ T(x) = \left\{\begin{array}{lr} 70000\cdot1,003^x & , & x <24 \\ 70000\cdot 1,003^x + 2000\cdot 1,007^x & , & x \geq 24 \end{array} \right.$

Funkjonen T(x) er ikke kontinuerlig for $x\in\mathbb{R}$. T(x) er en funksjon med delt forskrift. Grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra venstre, er ikke lik grenseverdien når x går mot 24 (måneder) fra høyre. Det betyr at funksjonen T er diskontinuerlig.

d)

Kan løse oppgaven grafisk og/eller i CAS. Her er begge deler vist.

Det tar ca. 318 måneder, eller 26,5 år, før T(x) blir større enn 200 000 kr.

Oppgave 4

Her kan vi la oss inspirere av programmet i del 1, oppgave 6, med noen modifikasjoner.

Programmet simulerer en million kast med 3 terninger. Jeg kjører programmet flere ganger, og får hver gang en sannsynlighet for å vinne på rundt 0,092.

Oppgave 5

Bruker CAS i Geogebra.

Linje 1: definerer funksjonen til den rette linja som går gjennom punktene (0,2) og (2,0).

Linje 2: Definerer funksjonen for arealet av rektangelet. Jeg tenker at rektangelet består av to like deler. Arealet av delen til høyre for y-aksen, vil være bredden a ganget med høyden f(a). Jeg ganger dette med 2, for å få arealet av hele rektangelet.

Linje 3: Jeg setter den deriverte av T lik 0, for å finne den verdien av a som gir størst areal. (Jeg vet at ekstremalpunktet til T(a) er et toppunkt, fordi andregradsleddet er negativt).

Linje 4: den verdien av a som gir størst areal, er 1. Jeg beregner derfor arealet T(a) når a = 1.

Den største verdien T kan ha er 2.

Oppgave 6

Bruker CAS i Geogebra.

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.