S1 2020 høst LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

$2(3x+2)=2x(x+2)+4 \\ 6x+4 = 2x^2+4x+4 \\ -2x^2+2x=0 \quad |:(-2)\\ x^2-x = 0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0 \vee x=1 $

b)

$3^x\cdot 3^2=\frac{1}{3^5} \\ 3^{x+2}=3^{-5} \\ x+2=-5 \\ x=-7$

c)

$lg(3x-2)=2lgx \\ lg(3x-2)=lg(x^2) \\ 10^{lg(3x-2)}=10^{lg(x^2)} \\ 3x-2 = x^2 \\ -x^2+3x-2=0 \quad | :(-1)\\ x^2-3x+2=0 \\ (x-1)(x-2)=0 \\ x=1 \vee x=2$

Oppgave 2

a)

$\frac{4a^3(a^{-2}b^3)^2}{(2^{-1})^{-2}ab^4} \\ =\frac{4a^3\cdot a^{-4}\cdot b^6}{2^2\cdot ab^4} \\ = a^{3-4-1}\cdot b^{6-4} \\ = a^{-2}\cdot b^{2} \\ = (\frac{b}{a})^2 $

b)

$\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}+1 \\ = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}-\frac{2x}{(x+1)(x-1)}+\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x+1-2x+(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x^2-x}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x}{x+1}$

Oppgave 3

$x^2-3x+2\leq 0 \\ (x-1)(x-2)\leq 0$

Nullpunkter: $x=1$ og $x=2$

$x^2-3x+2\leq 0$ når $x\in [1,2]$

Oppgave 4

Vi lar $x$ være antall gullmedaljer, og $y$ være antall sølvmedaljer.

$I \quad x+y=16 \\ II \quad 7x+5y=102$

$I \quad y=16-x$

$II \quad 7x+5(16-x)=102 \\ \quad \quad 7x+80-5x=102 \\ \quad \quad 2x=102-80 \\ \quad \quad x=\frac{22}{2}=11$

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

$P(to \, like)=P((B\cap B)\cup(R\cap R))= \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{12}+\frac{2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er $\frac{1}{3}$.

b)

La $x$ være antall røde kuler.

$P(to\, ulike)=P((B\cap R)\cup(R\cap B)) \\ = \frac{2}{2+x}\cdot \frac{x}{2+x-1} + \frac{x}{2+x} \cdot \frac{2}{2+x-1} \\ = \frac{2x}{(2+x)(1+x)}\cdot 2 \\ = \frac{4x}{x^2+2x+x+2} \\ = \frac{4x}{x^2+3x+2}$

Setter $P(to\,ulike) < \frac{1}{2}$

$\frac{4x}{x^2+3x+2} < \frac{1}{2} \\ 8x < x^2+3x+2 \\ -x^2+5x-2 < 0 \\ x^2-5x+2 > 0 \\ x>\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1 \cdot 2}}{2} \\ x_1> \frac{5+\sqrt{17}}{2} \vee x_2>\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Velger den positive løsningen, $x_1$. Vi vet at $\sqrt{17} > 4$, siden $\sqrt{16}=4$.

$x_1 > \frac{5+4}{2} \\ x_1 > 4,5$

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

$\bullet$ Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

$\quad 3+c = 0 \Rightarrow c=-3$

$\bullet$ Vi lar x gå mot uendelig:

$\quad lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{x+c} \approx lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x} = a $

$\quad $ Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor $a=-2$

$\bullet$ Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter $f(x)=0$

$\quad \frac{ax+b}{x+c}=0 \\ \quad \frac{-2\cdot 2+b}{x-3}=0 \\ \quad -4+b = 0 \\ \quad b=4 $

Vi har $a = -2$, $b = 4$ og $c = -3$.

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

$-2x+5y \leq 8 \quad \Rightarrow \quad y \leq \frac{2}{5}x+\frac{8}{5} \quad \Rightarrow \quad y \leq 0,4x+1,6$

$2x+y \geq 4 \quad \Rightarrow \quad y \geq -2x+4$

$2x-y \leq 8 \quad \Rightarrow \quad y \geq 2x-8 $

b)

Regner ut verdien til uttrykket $-2x+3y$ i hjørnene:

Hjørnet (1,2): $-2\cdot 1+3\cdot 2 = -2+6=4$

Hjørnet (3,-2): $-2\cdot 3 + 3\cdot (-2) = -6-6 = -12$

Hjørnet (6,4): $-2\cdot 6 + 3\cdot 4 = -12+12 = 0$

Uttrykket $-2x+3y$ kan få alle verdier i intervallet $[-12,4]$, dersom (x,y) skal ligge i M.

Oppgave 8

$g(x) = x^3-\frac{3}{2}x^2$

a)

$g(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^3-\frac{3}{2}\cdot (\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^3-(\frac{3}{2})^3=0$

$g(2)=2^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2 = 8-3\cdot 2 = 8-6 = 2 $

Gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-0}{2-\frac{3}{2}} = \frac{2}{0,5} = 4$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet $[\frac{3}{2},2]$ er 4.

b)

$g'(x)=3x^2-\frac{3\cdot 2}{2}x = 3x^2-3x$

$g'(2)=3\cdot 2^2-3\cdot 2 = 12-6 = 6$

c)

Setter $g'(x)=6$

$3x^2-3x = 6 \\ 3x^2-3x-6 = 0 \quad |:3 \\ x^2-x-2 = 0 \\ (x+1)(x-2)=0 \\ x_1=-1 \vee x_2 = 2$

$g(-1) = (-1)^3-\frac{3}{2}\cdot (-1)^2 = -1-\frac{3}{2} = -\frac{2}{2}-\frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$

$g(2) = 2$, som vi regnet ut i a).

$A=(-1, \frac{5}{2})$ og $B=(2,2)$.

Oppgave 9

a)

Vi har omkretsen til rektangelet $O=2x+2y = 96\,cm$

$2x+2y=96 \\ y = \frac{96-2x}{2} \\ y= 48-x$

b)

Vi trenger et uttrykk for radiusen til sylinderen. Vi har omkretsen til sylinderen $O=2\pi r = x$

$2\pi r = x \quad \Rightarrow \quad r = \frac{x}{2\pi}$

Volumet av en sylinder: $V=\pi r^2\cdot h$

$V(x)=\pi (\frac{x}{2\pi})^2 \cdot (48-x) \\ = \pi (\frac{x^2}{4 \pi ^2})\cdot (48-x) \\ = \frac{x^2}{4\pi}(48-x) \\ = \frac{1}{4\pi}(48x^2-x^3)$