R2 2020 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning del 1 av Kristian Saug

Løsning del 2 av Kristian Saug

Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=x\cdot sin x$

$f'(x)=sin x + x \cdot cos x$

b)

$g(x)=\frac{cos(x^2)}{x}$

$g'(x)=\frac{-2x\cdot sin(x^2)\cdot x - cos(x^2)\cdot 1}{x^2} = \frac{-2x^2 \cdot sin(x^2) - cos(x^2)}{x^2}$

Oppgave 2

a)

$\int(x^2+3+e^{2x})dx = \frac{1}{3}x^3+3x+\frac{1}{2}e^{2x}+C$

b)

Bruker variabelskifte, der $u=x^2$

$\frac{du}{dx}=2x \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}$

$ \int 6x\cdot sin(x^2)dx = 3 \int 2x \cdot sin (u) \frac{du}{2x} = 3 \int sin(u) du = -3cos(u) + C = -3 cos(x^2)+C $

c)

Bruker delvis integrasjon, der $u = ln\,x \Rightarrow u'=\frac{1}{x}$ og $v' = x \Rightarrow v=\frac{1}{2}x^2$

Finner det ubestemte integralet:

$\int x \cdot ln\,x\,dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot ln\,x- \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot ln\,x -\frac{1}{2}\int x\, dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot ln\,x -\frac{1}{4} x^2 + C$

Finner det bestemte integralet:

$\int_{1}^{e} x \cdot ln\,x\,dx = [\frac{1}{2}x^2 \cdot ln\,x -\frac{1}{4} x^2]_{1}^{e} = (\frac{1}{2}e^2 \cdot ln\,e -\frac{1}{4} e^2) - (\frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot ln\,1 -\frac{1}{4} \cdot 1^2) \\ = (\frac{2}{4}e^2 \cdot 1 - \frac{1}{4}e^2)-(\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}e^2+\frac{1}{4} $

Oppgave 3

a)

Finner $a_5$:

$S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5 \\ 55 = \frac{3+a_5}{2} \cdot 5 \\ a_5 = \frac{55}{5}\cdot 2 - 3 \\ a_5 = 19$

Finner differensen:

$d = \frac{a_5 - a_1}{5-1} \\ d = \frac{19-3}{4} \\ d= 4$

Finner $a_{10}$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)\cdot d \\ a_{10} = 3 + 9\cdot 4 \\ a_{10} = 39$

Finner summen av de 10 første leddene:

$S_{10} = \frac{a_1+a_10}{2}\cdot 10 \\ S_{10} = \frac{3+39}{2}\cdot 10 \\ S_{10} = 210$

b)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a_1}{1-k}$

I rekken $7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4}+...$ er $a_n = 7\cdot \frac{1}{2}^{n-1}$

Vi har $k = \frac{1}{2}$ og rekken konvergerer derfor.

Bestemmer summen av rekken:

$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{7}{1-\frac{1}{2}} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 14$

Oppgave 4

$f(x)=2 sin(\pi x + \pi)-1 \quad, \quad x\in \langle -1,3 \rangle$

a)

$f'(x)=2\pi cos(\pi x+ \pi) \quad, \quad x\in \langle -1,3 \rangle$

Setter $f'(x)=0$

$2\pi cos(\pi x+ \pi)=0 \\ cos(u) = 0 \Rightarrow u=\frac{\pi}{2} + k\pi \\ \pi x + \pi = \frac{\pi}{2} \vee \pi x +\pi = \frac{3\pi}{2} \vee \pi x + \pi = \frac{5\pi}{2} \vee \pi x + \pi = \frac{7\pi}{2} \\ x = -\frac{1}{2} \vee x = \frac{1}{2} \vee x = \frac{3}{2} \vee x = \frac{5}{2}$

Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):

$f(-\frac{1}{2})= 2 sin(-\frac{\pi}{2} + \pi)-1 = 2 sin(\frac{\pi}{2})-1 = 2\cdot 1 - 1 = 1 $

$f(\frac{1}{2})= 2 sin(\frac{\pi}{2} + \pi)-1 = 2 sin(\frac{3\pi}{2})-1 = 2\cdot (-1) - 1 = -3 $

$f(\frac{3}{2})= 2 sin(\frac{3\pi}{2} + \pi)-1 = 2 sin(\frac{5\pi}{2})-1 = 2\cdot 1 - 1 = 1 $

$f(\frac{5}{2})= 2 sin(\frac{5\pi}{2} + \pi)-1 = 2 sin(\frac{7\pi}{2})-1 = 2\cdot (-1) - 1 = -3 $

Toppunkter: $(-\frac{1}{2}, 1)$ og $(\frac{3}{2}, 1)$

Bunnpunkter: $(\frac{1}{2}, -3)$ og $(\frac{5}{2}, -3)$

b)

Skjæring med y-aksen:

$f(0) = 2 sin (\pi\cdot 0 + \pi)-1 = 2 sin(\pi) - 1 = 0-1 =-1$

Grafen til $f$ skjærer y-aksen i punktet $(0,-1)$. Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.

Skjæring med x-aksen; setter $f(x)=0$

$2 sin(\pi x + \pi)-1 = 0 \\ sin(\pi x + \pi) = \frac{1}{2} \\ sin(u)=\frac{1}{2} \Rightarrow u=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \vee u=\frac{5\pi}{6} + k\cdot 2\pi\\ \pi x + \pi = \frac{\pi}{6} \vee \pi x + \pi = \frac{5\pi}{6} \vee \pi x + \pi = \frac{13\pi}{6} \vee \pi x + \pi = \frac{17\pi}{6}\\ x= -\frac{5}{6}\vee x = -\frac{1}{6} \vee x= \frac{7}{6}\vee x = \frac{11}{6} $

Grafen til $f$ skjærer x-aksen i punktene $(-\frac{5}{6},0), (-\frac{1}{6},0),(\frac{7}{6},0),(\frac{11}{6},0)$.

c)

Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.

Oppgave 5

Vi har punktene A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) og T(5,3,8).

a)

$\vec{AB}=[2-(-1), 2-3, 1-2] = [3,-1,-1]$

$\vec{AC}=[0-(-1),1-3,0-2]=[1,-2,-2]$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = [(-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot(-2),(-1)\cdot 1 - 3\cdot(-2),3\cdot(-2)-(-1)\cdot 1] = [2-2,-1+6,-6+1]=[0,5,-5]$

b)

$\vec{AT}=[5-(-1), 3-3,8-2]=[6,0,6]$

$V=\frac{|(\vec{AB}\times \vec{AC}) \cdot \vec{AT}|}{6} = \frac{|[0,5,-5]\cdot[6,0,6]|}{6} = \frac{|0\cdot 6 + 5\cdot 0+(-5)\cdot 6|}{6} = \frac{|-30|}{6} =\frac{30}{6}= 5$

Volumet av pyramiden ABCT er 5.