R1 2019 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag del 2 fra Kristian Saug

Løsningsforslag (pdf) fra joes

Løsningsforslag fra Svein Arneson

DEL EN

a)

$ f(x)=x^4-2x+ln(x) \\ f'(x)= 4x^3-2+ \frac 1x$

b)

$ g(x)= x^7e^x \\ g'(x) = 7x^6e^x + x^7e^x = e^xx^6(7+x) $

c)

$h(x)= \frac{ln(2x)}{x^2} \\ h'(x) = \frac{\frac{1}{2x} \cdot 2 \cdot x^2-2 \cdot x \cdot ln(2x)}{x^4} \\ h'(x)= \frac{1- 2 ln(2x)}{x^3}$

Oppgave 2

$4(ln(a \cdot b^3))-3(ln(a\cdot b^2))-ln(\frac ab) \\ 4 ln(a) + 12 ln(b) - 3ln(a) - 6 ln(b) - ln (a) + ln(b) = 7 ln (b)$

a)

Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0

$P(2) = 0 \\ 2^3+ 6 \cdot 2^2 + k\cdot 2 -30 =0 \\ 8+24+2k-30=0 \\ k=-1$

b)

Bruker så ABC formel på svaret og får:

$ x^2 + 8x + 15 = 0 \\ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} \\ x = \frac{-8 \pm 2}{2} \\ x = -5 \vee x =-3$

Faktorisert form: $x^3 +6x^2 - x -30 = (x-2)(x+3)(x+5)$

c)

Fra b har vi at:

$(x-2)(x+3)(x+5) \leq 0$

Tegner fortegnsskjema:

$x \in < \leftarrow, -5] \cup [-3,2]$

Oppgave 4

a)

$\vec{AB} = [(2-(-2), -1-1] = [4,-2] \\ \vec{BC} = [(4-2, 2-(-1)]= [2, 3]$

b)

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = [4,-2]\cdot[2,3] = 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 8-6 =2 \neq 0$

To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.

c)

$\vec{AD} = [t+2, 2]$

Bruker skalarprodukt igjen:

$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \\ [4,-2] \cdot [t +2,2] =0 \\ 4t + 8 - 4 =0 \\ t = -1$

d)

Et parallellogram er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:

$\vec{AB} \parallel\vec{CD}$

eller

$\vec{BC} \parallel\vec{DA}$

Vi sjekker begge mulighetene.

$\vec{AB} \parallel\vec{CD} \\ \vec{AB} = k \vec{CD} \\ [4,-2] = k [t-4, 1] \\ 4 = kt-4k \wedge -2 = k \\ t =2$

t = 2 gir ett parallellogram.

$\vec{BC} \parallel\vec{DA} \\ \vec{BC} = k \vec{DA} \\ [2, 3] = k [-2-t,-2] \\ 2=-2k-kt \wedge 3=-2k \\ k = - \frac 32 \wedge 2 =3 + \frac 32 t \\ t= - \frac 23$

$t = - \frac 23$ gir også et parallellogram.

Oppgave 5

a)

$\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{2} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=35\cdot10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35}$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6

a)

Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid $ A = x \cdot \sqrt{4-x^2} $. Brukte pytagoras for å finne lengden av OC.

Areal av skravert område blir da

$A_{skravert} = \frac 14 \pi \cdot2^2 - x \cdot \sqrt{4-x^2} = \pi - x \sqrt{4-x^2}$

b)

Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:

$F'(x) = \\ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \\ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \\ -( \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \\ - ( \frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})} -\frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \\ - \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \\ \frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})}{\sqrt{4-x^2}}$

Av uttrykket ser vi at $x= \sqrt 2$ gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat.

a)

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

b)

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

$\frac{c-a}{r} = \frac{b}{c} \\ r = \frac{a(c-a)}{b} $

c)

Trekanten ABC har areal: $A= \frac {a \cdot b}{2}$

Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC

Areal CDB: $\frac{r \cdot a}{2}$

Areal: ADB: $\frac{c \cdot r}{2}$

Kombinerer:

$\frac{r \cdot a}{2}+ \frac{c \cdot r}{2}=\frac {a \cdot b}{2} \\ra + rc = ab \\ r(a+c) =ab$

d)

$a \cdot b = (a+c) \cdot r \\ ab =(a+c) \cdot \frac{a(c+a)}{b} \\ ab^2 = (a^2+ac)(c-a) \\ ab^2= a^2c - a^3 + ac^2- a^2c \\ ab^2 = - a^3+ ac^2 \\ a^2 + b^2 = c^2$

Oppgave 1

a)

I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen.

Sansynlighet spam: $ P(S)$

Sans. ikke spam : $P( \overline{S})$

Ord fra liste: L

$P(L) = P(S) \cdot P(L |S) + P( \overline{S}) \cdot P(L | \overline{S}) \\ 0,8 \cdot 0,85 + 0,2 \cdot 0,03 = 0,686$

eller 68,6%

b)

Tenker gunstige delt på mulige. Ender da opp med Bayes setning.

$P(S|L)= \frac{P(S) \cdot P(L|S )}{P(L)} = \frac{0,68}{0,686}= 0,991$

eller 99,1%

c)

V skal finne sannsynlighet for søppelpost, når den ikke inneholder ord fra listen:

$P(S | \overline{L}) = \frac{gunstige}{mulige} = \frac{P(S) \cdot P( \overline{L}|S) }{1-P(L)} = \frac{0,8 \cdot 0,15}{1- 0,686 } 0,382$

eller ca. 38,2%

Oppgave 2

a)

$f(x)= -x^3+x^2+kx+2 \\ f'(x) = -3x^2+2x+k$

Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må $b^2-4ac$ være positivt:

$4-4(-3)k >0 \\ 4+12k>0 \\ k> \frac 13$

b)

f har toppunkt i (2, f(2)):

$f'(2)=0 \\ -3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 +k=0 \\ -12+4+k =0 \\k =8$

Finner så f(2), når k = 8 :

$f(2) = -3^3+2^2+8 \cdot 2+2 = -8+4+16+2 = 14$

Toppunkt (2, 14)

Bunnpunkt:

Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8.

Bruker ABC formelen og får x = 2 eller $x = - \frac 43$. 2 er x verdien til toppunktet, og $- \frac 43$ er x verdien til bunnpunktet. Vi finner y koordinaten til punktet ved å finne $f(- \frac 43)$ som gir $- \frac{122}{27}$

Bunnpunkt $( - \frac{4}{3}, - \frac{122}{27})$

c)

$ f' \,'(x) = - 6x+2 $

Setter den dobbelderiverte lik null, for å finne x-koordinaten til vendepunktet.

$-6x+2=0 \\ x= \frac 13$

Setter $x= \frac 13$ inn i f(x):

$f(- \frac 13) = - ( \frac 13)^3+ \frac 13^2+ \frac 13x+2 =- \frac{1}{27} + \frac{1}{9} + \frac 13k+2 = \frac{56}{27} + \frac 13k$

Vendepunkt $ ( \frac 13, \frac{56}{27} + \frac 13k)$

Da kjenner vi vendepunktet. Vi setter inn x koordinaten i uttrykket til den DERIVERTE, og setter det lik 2:

$-3( \frac 13)^2+2 \cdot \frac 13 + k =2 \\ k= \frac 53$

Oppgave 3

a)

Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder.

b)

c)

Banefarten er henholdsvis 33,6 og 34,6 m/s idet ballene forlater taket.

d)

Oppgave 4

a)

Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q

b)

Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.