S2 2018 høst LØSNING

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=e^{2x} \\ f'(x)=2e^{2x}$

b)

$g(x)=\frac{x^4-1}{x^2} \\ g'(x)=\frac{4x^3 \cdot x^2 - (x^4-1) \cdot 2x }{(x^2)^2} \\ =\frac{4x^5-2x^5+2x}{x^4} \\ =\frac{2x^5+2x}{x^4} \\ = \frac{2x^4+2}{x^3}$

c)

$h(x)=x^3 \cdot ln\, x \\ h'(x)=3x^2 \cdot ln \, x + x^3 \cdot \frac{1}{x} \\ = 3x^2 \cdot ln \, x + x^2$

Oppgave 2

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$

a)

Vi har rekken $a_n=54 \cdot \frac{1}{3}^{n-1}$. I denne rekka er $k= \frac{1}{3}$. Det vil si at rekken konvergerer. Summen er gitt ved:

$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{54}{1-\frac{1}{3}} = \frac{54}{\frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot 3}{2} = 81$

b)

Vi har rekken $a_n=4 \cdot (-2)^{n-1}$. I denne rekka er $k= -2$. Det vil si at rekken ikke konvergerer.

Oppgave 3

a)

x runder løpt	1	2	3	4	$n$
f(x) kroner tjent per runde	10	15	20	25	$F_n$
utregning for å finne formel	$5\cdot 2$	$5\cdot 3$	$5\cdot 4$	$5\cdot 5$	$5\cdot(n+1) = 5n+5$

Inntekten per runde $F_n$ er gitt ved $F_n=5n+5$, der n er antall runder løpt og $n>0$. Setter $F_n=100$

$5n+5=100 \\ n+1 = 20 \\ n=19$

Lise må løpe 19 runder for å tjene 100 kroner på den siste runden.

b)

$ S=\sum_{n=1}^{25} 5n+5 \\ = \frac{(5\cdot 1 + 5)+(5\cdot 25 + 5)}{2} \cdot 25 \\ = \frac{10+130}{2} \cdot 25 \\ = 70 \cdot 25 = 1750 $

Bedriften må gi totalt 1750 kroner dersom Lise løper 25 runder.

Oppgave 4

a)

Funksjonen f er delelig på (x-1), derfor er (x-1) en faktor i f(x).

b)

Vi har allerede funnet en faktor, nemlig (x-1).

Faktoriserer nå resten ved å kjenne igjen andre kvadratsetning:

$x^2-4x+4=x^2-2\cdot 2 + 2^2=(x-2)(x-2)$

Vi har da:

$f(x)=x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)(x-2)$

c)

Kjenner igjen konjugatetningen i nevneren.

$\frac{x^3-5x^2+8x-d}{x^2-4}=\frac{x^3-5x^2+8x-d}{(x+2)(x-2)}$

Brøken kan forkortes for d=4, slik vi hadde for f(x), hvor (x-2) var en faktor.

Oppgave 5

a)

$I(p)=p\cdot q(p)=p\cdot 500\cdot e^{-0,04p}$

Finner størst inntekt ved derivasjon:

$I'(p)=500 \cdot e^{-0,04p} + 500p \cdot (-0,04) \cdot e^{-0,04p} \\ = 500 \cdot e^{-0,04p} -20p \cdot e^{-0,04p} \\ =(500-20p)\cdot e^{-0,04p}$

$I'(p)=0 \\ (500-20p)\cdot e^{-0,04p}=0 \quad \Rightarrow \quad (500-20p)=0 \\ p=\frac{500}{20}=25 $

Vi har et toppunkt i p=25. Det vil si at en pris på 25 kr gir maksimal inntekt.

b)

$q=500\cdot e^{-0,04p} \\ \frac{q}{500}=e^{-\frac{1}{25} p} \\ ln \lgroup \frac{q}{500} \rgroup=-\frac{1}{25} p \\ -25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup=p \\ p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$

c)

$p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$

$p'(q)=p'(u)\cdot u' \quad ,u=\frac{q}{500}$

$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{u} \cdot u'$

$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{\frac{q}{500}} \cdot \frac{1}{500} =-\frac{25}{q} \\ p'(25)=-\frac{25}{25}=-1$

Svaret forteller oss at ved en etterspørsel på 25 enheter, vil prisen synke med 1 krone per enhet, dersom etterspørselen blir 26 enheter.

Oppgave 6

a)

Vi har $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, der a,b,c og d er konstanter.

• x=1 er et nullpunkt, det vil si at $f(1)=0$ .

$\quad f(1)=a\cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c\cdot 1 + d = a+b+c+d=0$

• x=-2 er et nullpunkt, det vil si at $f(-2)=0$.

$\quad f(-2)=a\cdot(-2)^3+b\cdot(-2)^2+c\cdot(-2)+d=-8a+4b-2c+d=0$

• x=1 er ekstremalpunktet, det vil si at $f'(1)=0$.

$\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ \quad f'(1)=3a\cdot 1^2 + 2b\cdot 1+c=3a^2+2b+c=0$

• At grafen til f skjærer y-aksen i y=2 forteller oss at konstantleddet d=2.

b)

Bruker at d=2. Bruker likning 1 til å finne et uttrykk for c:

$a+b+c+d=0 \quad \Rightarrow \quad c=-a-b-2$

Setter inn uttrykket for c i likning 2:

$-8a+4b-2c+2=0 \\ -8a+4b-2(-a-b-2)+2=0 \\ -8a+4b+2a+2b+4+2=0 \\ -6a+6b+6=0 \quad |:6 \\-a+b+1=0$

Setter inn uttrykket for c i likning 3:

$3a+2b+c=0 \\ 3a+2b+(-a-b-2)=0 \\ 3a+2b-a-b-2=0 \\ 2a+b-2=0$

Har nå to likninger med to ukjente:

$-a+b+1=0 \\ 2a+b-2=0$

Finner et uttrykk for b:

$-a+b+1=0 \quad \Rightarrow \quad b=a-1$

Finner a:

$2a+b-2=0 \\ 2a+(a-1)-2=0 \\ 3a-3=0 \\ a=1$

Finner b:

$b=a-1=1-1=0$

Finner c ved hjelp av mitt tidligere uttrykk for c:

$c=-a-b-2=-1-0-2=-3$

Bestemmer et uttrykk for f(x):

$f(x)=1x^3+0x^2-3x+2 = x^3-3x+2$

Oppgave 7

a)

La X være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.

x	0	20	60	200
$P(X=x)$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

b)

Finner forventningsverdien $E(x)=\mu$

$\mu=0\cdot P(X=0) + 20\cdot P(X=20) + 60\cdot P(X=60)+ 200\cdot P(X=200) \\ = 0 + 20\cdot \frac{1}{3} + 60\cdot \frac{1}{6} + 200\cdot \frac{1}{6} \\ = \frac{20}{3}+\frac{30}{3} +\frac{100}{3} = \frac{150}{3} = 50 $

Forventningsverdien er 50 kroner.

Finner variansen $Var(X)$

$Var(X)=(0-\mu)^2\cdot P(X=0) + (20-\mu)^2\cdot P(X=20) + (60-\mu)^2\cdot P(X=60)+ (200-\mu)^2\cdot P(X=200) \\ = (0-50)^2 \cdot \frac{1}{3} + (20-50)^2 \cdot \frac{1}{3} +(60-50)^2 \cdot \frac{1}{6} + (200-50)^2 \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac{2500}{3}+\frac{900}{3} +\frac{100}{6} + \frac{22500}{6}\\ = \frac{2500}{3}+\frac{900}{3} +\frac{50}{3} + \frac{11250}{3}\\ =\frac{14700}{3}=4900$

Finner $SD(X)=\sqrt{Var(X)}$

$SD(X)=\sqrt{4900} = 70$

c)

Prisen per spill må være 60 kroner dersom jeg som arrangør i det lange løp skal få et overskudd på 10 kroner per spill.

d)

S er ifølge sentralgrensesetningen tilnærmet normalfordelt, fordi vi gjentar spillet 100 ganger. Sentralgrensesetningen sier følgende:

La X være en stokastisk variabel med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$.

La $\Sigma_n X$ være summen av n uavhengige forsøk med X.

For store verdier av n er $\Sigma_n X$ tilnærmet normalfordelt.

e)

$E(X)=-10$ fordi forventningsverdien for spilleren er -10 kroner per spill.

$E(S)=\mu=n\cdot \mu = 100\cdot (-10) = -1000$

Det betyr at forventningsverdien for 100 spill er -1000 kroner.

Standardavviket for gevinst er det samme som før, SD(X)=70.

$SD(S)=\sigma =\sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{100} \cdot 70 = 10 \cdot 70 = 700$

Det betyr at standardavviket for 100 spill er 700 kroner.

f)

$z=\frac{0-\mu}{\sigma} = \frac{0-(-1000)}{700} = \frac{10}{7}=1,43$

$P(S>0)=P((Z>0) =1-P(Z<1,43)=1-0,9236=0,0764$

Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene er 0,0764 = 7,64%.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker CAS i Geogebra til å finne et uttrykk for overskuddet, O(x)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til $O_2(x)$.

b)

Bruker kommandoen $Ekstremalpunkt[O_2]$ til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 875 enheter i uka, se punkt A.

c)

Jeg finner ekstremalpunkt for a(x), kostnad per enhet, i x=400 og x=-400. Forkaster x=-400, siden vi bare ser på $x\in \langle 0 , 2000 \rangle$. Sjekker at det er et bunnpunkt (og ikke et toppunkt) i x=400 ved å se at funksjonen synker i x=350 og øker i x=450.

Den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet, er 400 enheter i uka.

Oppgave 2

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse. Velger logistisk regresjonsmodell.

En funksjon som beskriver sammenhengen mellom tiden t og antall skadedyr i dette huset, er

$g(t)=\frac{299,8}{1+44,27e^{-0,18t}}$

b)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven.

Antall skadedyr økte raskest i $t=\frac{20}{3} \cdot ln(39) \approx 24$ dager etter at huset ble invadert. Dette er vendepunktet til f(t). Da var vekstfarten på 9 skadedyr per dag.

c)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven.

Det hadde vært skadedyr i ca. 35 dager da huset ble kontrollert. Denne oppgaven kan også løses grafisk.

Oppgave 3

a)

La S være summen av n poengskårer X. Da er forventningsverdien av summen:

$E(S) = n\cdot E(X)$

Følgelig er

$E(\overline{X})=E(\frac{S}{n})=\frac{n\cdot E(X)}{n}=E(X)=50$

Variansen av summen er:

$Var(S) = n\cdot Var(X)$

Standardavviket av summen er da:

$SD(S)=\sqrt{Var(S)}=\sqrt{n\cdot Var(X)}=\sqrt{n}\cdot SD(X)$

Følgelig er

$SD(\overline{X})=SD\lgroup \frac{S}{n} \rgroup= \frac{\sqrt{n}\cdot SD(X)}{n}=\frac {\sqrt{100}\cdot 8}{100}=0,8$

b)

$P(49 < \overline{X} < 51) = \Phi(\frac{51-E\overline{X}}{SD(\overline{X})}) - \Phi(\frac{49-E\overline{X}}{SD(\overline{X})}) = \Phi(\frac{51-50}{0,8})- \Phi(\frac{49-50}{0,8}) = \Phi(1,25) - \Phi(-1,25) = $

Oppgave 4

a)

Dette kan uttrykkes som summen av en geometrisk rekke hvor mengden virkestoff fra én tablett etter n døgn er

$a_n=a_1 \cdot k^{n-1}=2,4\cdot 0,75^{n-1}$

Summen av virkestoff etter 7 døgn kan regnes ut på denne måten:

$S_7=a_1\frac{k^7-1}{k-1}=2,4\cdot \lgroup \frac{0,75^{7}-1}{0,75-1} \rgroup = 8,32$

Etter 7 døgn har Mads 8,32 mg virkestoff i kroppen.

b)

Denne rekken vil etterhvert konvergere mot følgende verdi:

$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a_1}{1-k}=\frac{2,4}{1-0,75}=9,6$

Mads vil maksimalt ha 9,6 mg virkestoff i kroppen i det lange løp hvis han fortsetter medisineringen.

c)

Bruker CAS i Geogebra til å løse oppgaven. Beregner først hva vekstfaktoren må være dersom rekken skal konvergere mot 5,5 mg (se rad 1). Beregner deretter hvor mange døgn det tar før én tablett har blitt brutt ned til $\frac{31}{55}$ av opprinnelig dose på 2,4 mg (se rad 2).

Det må minst gå $1,99 \approx 2$ døgn, det vil si omtrent 48 timer mellom hver gang Mads tar en tablett.