Forskjell mellom versjoner av «Romfigurer»
Linje 92: | Linje 92: | ||
== Rotasjonslegemer == | == Rotasjonslegemer == | ||
− | Gitt en <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I=[a,b]</tex>, kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme. | + | |
+ | Gitt en funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I=[a,b]</tex>, kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | === Volum === | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Volumet av rotasjonslegeme generert av en funksjon f(x) på et intervall I=[a,b] er gitt som et integral: | ||
Linje 99: | Linje 107: | ||
Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>\pi f(x)^2</tex> er arealet av en skive med tykkelse <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over. | Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>\pi f(x)^2</tex> er arealet av en skive med tykkelse <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Overflateareal === | ||
+ | |||
+ | |||
+ | På analogt vis kan vi bruke integrasjon til å finne overflatearealet av et rotasjonslegeme: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | : <tex>A(f(x):I)= \int_a^b 2\pi f(x)\,dx</tex> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>2\pi f(x)</tex> er omkretsen av en tverrsnittet til en sylinder med lengde <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la lengden være infinitesimal vil dette resultere i integralet over. |
Revisjonen fra 17. feb. 2010 kl. 16:36
Kule
Vektornotasjon er nyttig for å beskrive romfigurer. Lar vi en generell romlig posisjonsvektor være <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, vil en kuleflate ha ligningen
- <tex>|\vec{r}|=r</tex>
Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller ligningen vil ligge på overflaten av ei kule med sentrum i origo og radius r.
Vi kan flytte senteret ved å translatere langs aksene, dvs. at vi subtraherer en konstant vektor <tex>\vec{r_0}</tex> fra posisjonen:
- <tex>|\vec{r}-\vec{r_0}|=r</tex>
Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller denne ligninga vil ligge på en kuleflate med senter i <tex>\vec{r_0}</tex> og radius r.
Dette gir oss en helt generell beskrivelse av en kule i rommet.
Volum
Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen
- <tex>V(r)=\frac43 \pi r^3</tex>
Overflateareal
Overflatearealet av ei kule med radius r er gitt ved formelen
- <tex>A(r)=4\pi r^2</tex>
Sylinder
En sylinder har tverrsnitt som en sirkulær skive og lengde avgrenset av to plan som står normalt på sylinderens akse.
F.eks. vil en sylinder som er orientert i retning z-aksen (aksen er parallell med z-aksen) være beskrevet som en (lukket) skive i xy-planet avgrenset av plan parallelle med xy-planet. Ligningen til enhetsskiven i xy-planet,
- <tex>x^2+y^2\leq 1</tex>,
vil dermed beskrive en sylinder når vi innfører en ny dimensjon (z-aksen); Sylinderflaten avgrenset av planene <tex>z=a</tex> og <tex>z=b</tex> med <tex>a<b</tex> vil bestå av alle punkter <tex>(x,y,z)</tex> slik at <tex>x^2+y^2\leq 1</tex> og <tex>z\in [a,b]</tex>
Volum
Volumet av en sylinder med lengde l hvis tverrsnitt har radius r er gitt ved formelen
- <tex>V(r,l)=\pi r^2l</tex>
Volumet er altså produktet av arealet av tverrsnittet og lengden.
Overflateareal
Overflatearealet av en sylinder med lengde l og tverrsnitt med radius r, er gitt ved formelen
- <tex>A(r,l)= 2\pi rl+2\pi r^2</tex>
Parallellepiped
En parallellepiped er en rektangulær boks som er klemt sammen eller deformert i en viss forstand; Vi tenker oss at en rektangulær boks er utspent av tre ortogonale vektorer. Et parallellepiped vil, til forskjell, være utspent av tre vektorer som ikke nødvendigvis er ortogonale.
Volum
Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil volumet være gitt ved formelen
- <tex>V(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=|(\vec{r_1}\times \vec{r_2})\cdot \vec{r_3}|</tex>
Overflateareal
Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil overflatearealet være gitt ved formelen
- <tex>A(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=2\cdot (|\vec{r_1}\times \vec{r_2}|+|\vec{r_1}\times \vec{r_3}|+|\vec{r_2}\times \vec{r_3}|)</tex>
Her har vi addert par av like sideflater som alle er parallellogrammer.
Rotasjonslegemer
Gitt en funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I=[a,b]</tex>, kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme.
Volum
Volumet av rotasjonslegeme generert av en funksjon f(x) på et intervall I=[a,b] er gitt som et integral:
- <tex>V(f(x):I)=\int_a^b \pi f(x)^2\,dx</tex>
Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>\pi f(x)^2</tex> er arealet av en skive med tykkelse <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.
Overflateareal
På analogt vis kan vi bruke integrasjon til å finne overflatearealet av et rotasjonslegeme:
- <tex>A(f(x):I)= \int_a^b 2\pi f(x)\,dx</tex>
Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>2\pi f(x)</tex> er omkretsen av en tverrsnittet til en sylinder med lengde <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la lengden være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.