Brøkregning

Innledning

En brøk består av tre elementer, teller, brøkstrek og nevner.

Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i. Man må dele i LIKE STORE BITER.

Figuren til venstre kan representere en brøk fordi alle bitene er like store. Dersom to personer får en bit hver har begge fått like mye, $\frac{1}{18}$.

Figuren til høyre består også av atten biter, men her er bitene av forskjellig størrelse. Denne figuren kan ikke brukes til å representere en brøk. Dersom to personer får en bit hver har de trolig fått forskjellig andel (mengde) av figuren.

Deler du en pizza i fire like store biter blir nevneren fire. Spiser du en av bitene har du spist 1/4 av pizzaen. Telleren sier altså noe om hvor mange av delene i nevneren som "er med på leken".

grønn er teller, grønn + grå er nevner

Deler du samme pizza opp i åtte like stykker blir stykkene havparten så store som når du deler den i fire. Om du spiser to stykker når pizzaen er delt i åtte, er det likeverdig med å spise et stykke når pizzaen er delt i fire. Slik kan vi fortsett. Det kalles å utvide brøken.

Å utvide brøken

Om vi holder oss til eksempelet over kan vi skrive det slik:

<math> \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{4}{16}</math>

Det vi egentlig gjør er å multiplisere teller og nevner med samme tall, i dette tilfellet 2.

Eksempel:

<math> \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8} = \frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2}= \frac{4}{16}</math>

Vi kan utvide en brøk med både tall og bokstaver, men det er viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner. Gjør vi ikke det, vil brøkens verdi endre seg.

Å forkorte brøken

Å forkorte en brøk er det motsatte av å utvide den. Først må vi faktorisere teller og nevner. Se siden om faktorisering dersom du ikke kan det.

Eksempel:

Brøken tolv sekstendeler kan skrives som:

<math> \frac{12}{16} = \frac {2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3}{4}</math>

Når vi forkorter 2- tallene i teller og nevner må vi huske på at de erstattes med tallet 1. De går ikke an å få null i teller eller nevner når vi forkorter på denne måten. Også her er det viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner.

Blandet tall

Et blandet tall består av et heletall og en brøk

Eks: $ 1\frac14 $

Dette blandede tallet består av en hel og en fjerdedel. Det kan illustreres med figuren over.

Addisjon og subtraksjon

Når nevner er den samme

Når nevneren i to eller flere brøker skal trekkes sammen legger vi sammen tellerene (eller trekker fra), og beholder nevneren slik den er.

Eksempel:

<math> \frac 27 + \frac 37 = \frac{2+3}{7}= \frac 57 </math>

Eksempel:

<math> \frac 35 - \frac 25 = \frac{3-2}{5}= \frac 15 </math>

Test deg selv

Når nevner er forskjellig

Når man skal legge sammen eller trekke fra to eller flere brøker med forskjellig nevner, må man først finne fellesnevner.

Eksempel:

<math>\frac 13 + \frac 12 = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}+ \frac {1 \cdot 3}{2 \cdot 3 } = \frac 26 + \frac {3}{6} = \frac 56 </math>

Vi finner nevnerens minste felles multiplum (mfm), det minste tallet som begge nevnerene går opp i. Det minste tallet både to og tre går opp i er seks. Dette er et eksempel på nødvendigheten av å kunne utvide brøker.

Test deg selv

Multiplikasjon

Brøk med brøk

Når to brøker skal multipliseres (ganges) med hverandre, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.

Eksempel:

<math> \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac {2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac {3}{10}</math>

Test deg selv

Heltall med brøk

Vi multipliserer heltallet i teller og beholder nevner.

Eksempel:

<math>3 \cdot \frac{2}{7} = \frac {3 \cdot 2}{7}= \frac 67 </math>

Test deg selv

Divisjon

Når to brøker skal divideres (deles) med hverandre, snur vi den siste brøken (divisor) og multipliserer utrykket. Med snu menes at vi bytter om teller og nevner. Eks:

Eksempel:

<math>\frac{3}{4}:\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1}= \frac 64 = \frac 32</math>

Hvorfor er det slik? La oss se på et eksempel til:

Eksempel:

<math>\frac{2}{3}:\frac{4}{7} = \frac{ \frac{2}{3}}{ \frac{4}{7}} = \frac{ \frac{2}{3} \cdot 7}{ \frac{4}{7} \cdot 7} = \frac{ \frac{2 \cdot 7}{3}}{4} = \frac{ \frac{14}{3} \cdot 3}{4 \cdot 3}= \frac{14}{12} = \frac {7}{6} </math>

Man obserever at metoden i eksempelet over er mye enklere. Dette eksemplet er bare ment som en forklaring på hvorfor man kan "snu" den siste brøken og gange.

Test deg selv

Divisjon med brøk og heltall

Man løser problemet ved å gjøre heltallet om til brøk, og bruker regelen over.

Eksempel:

<math>\frac{2}{3}: 2 = \frac 23:\frac 21 = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 26 = \frac 13 </math>

<math> 3: \frac 17 = \frac 31:\frac 17 = \frac 31 \cdot \frac 71 = \frac {21}1 = 21 </math>

Null i teller

Dersom telleren er null er brøkens verdi lik null.

<math> \frac 01 = \frac 02 = \frac 03 = ..... = \frac 0n = 0</math>

Der n er forskjellig fra null.

Null i nevner

Det er ikke mulig å få null i nevneren til en brøk. Dersom du har fått det har du regnet feil.

Teller og nevner like store

Når teller og nevner er like store er brøkens verdi lik en.

<math> \frac 11 = \frac 22 = \frac 33 = ..... = \frac nn = 1</math>

Der n er forskjellig fra null.

Fra heltall til brøk

Et hvilket som helst heltall kan gjøres om til en brøk med en hvilken som helst nevner.

Et heltall gjøres om til brøk slik: <math>1= \frac 11 = \frac22 = \frac33 = ...... </math>

Eller slik:

<math>4= \frac 41 = \frac82 = \frac{12}{3} = ...... </math>

Du skriver fire som fire endeler. Så utvider du brøken slik at du får den nevneren du ønsker. Ønsker du brøken i syvdeler multipliserer du både fire og en med syv og får $\frac{28}{7}$.

---

PRØV DEG SELV I BRØKREGNING