Bokstavregning

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.

Hvorfor bokstaver?

En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?

Arealet blir: <math>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</math>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for alle radier er: <math> A= \pi r^2</math>

Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning) fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Regneregler

Se på uttrykket 2x + 4ab

• LEDD, utrykket består av to ledd, 2x og 4ab. Ledd adskilles med pluss eller minus.
• FAKTOR, leddet 2x er et PRODUKT av to faktorer; 2 og x. Faktorer adskilles med multiplikasjonstegn (gangetegn). Dersom det ikke kan missforståes er det vanlig å utelate multiplikasjonstegnet. 4ab er et produkt av faktorene 4, a og b. Man kunne ha skrevet 4ab som 4∙a∙b, men siden det ikke er grunnlag for å misforstå sløyfer vi gangetegnet.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.

Regel:

a + b = b + a

Eksempel 1:

4 + 2 = 2 + 4 = 6

Regel:

(a + b) + c = a + (b + c)

Eksempel 2:

(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5

Regel:

a + a + a + a = 4a

Eksempel 3:

a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2

Regel:

<math> a \cdot a \cdot a = a^3</math>

Eksempel 4:

<math> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</math>

Regel:

<math> a \cdot b = b \cdot a </math>

Eksempel 5:

<math>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</math>

Regel:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Eksempel 6:

<math>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</math>

Regel:

a(b + c) = ab + ac

Eksempel 7:

3(2x +y) = 6x+3y

Test deg selv

Første kvadratsetning

<math>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>

Grafisk kan formelene over se slik ut:

Eksempel 8:

Regn ut:

<math> (x+2)^2 </math>

Man får:

<math>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</math>

Test deg selv

Eksempel 9:

Faktoriser <math>9 + 12x + 4x^2</math>

Man får:

<math> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </math>

For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.

Test deg selv

Andre kvadratsetning

<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </math>

Eksempel 10:

Regn ut

<math>(x - 2y)^2</math>

Løsning

<math>x^2- 4xy + 4y^2 </math>

Test deg selv

Eksempel 11:

Faktoriser <math>x^2-12x+36</math>

Løsning:

<math>(x-6)^2 </math>

Test deg selv

Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning)

<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math>

Grafisk kan likningen tolkes slik:

Eksempel

Regn ut <math>(x- 4)(x+4)</math>

Løsning

<math>x^2-16 </math>

Test deg selv

Eksempel

Faktoriser

<math>x^2-1</math>

Løsning

<math>(x-1)(x+1) </math> Her må man huske at <math>1^2 = 1 </math>

Test deg selv

Forkorting

Poenget med å forkorte et uttrykk er ønsket om å skrive det enklest mulig. Dersom et brøk uttrykk har en fator med samme verdi både i teller og nevner kan disse forkortes. Før man forkorter må man faktorisere. Det er ikke alle uttrykk som lar seg forkorte.

Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.

Eksempel

Skriv<math> \frac{x^2-1}{x+1} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</math>

Eksempel

Skriv<math> \frac{x-1}{x^2-1} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</math>

Test deg selv

Eksempel

Skriv <math> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </math> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</math>

Eksempel

Skriv enklest mulig:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</math>

Løsning:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</math>

---

Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside