Trigonometriske likninger

Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

<math>\sin(x+2\pi)=\sin\,x</math>

<math>\cos(x+2\pi)=\cos\,x</math>

<math>\tan(x+\pi)=\tan\,x</math>

1. Trigonometriske grunnligninger

Trigonometriske ligninger som kun involverer én trigonomatrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnligninger. Dise er de enkleste trigonometriske ligningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnligninger

Vi tar for oss ligningen

$a\sin(bx)=c$ Vi vil løse denne ligninger for <math>x</math>. Det første vi gjør er å isolere <math>\sin(bx)</math> på venstresiden:

$\sin(bx)=\frac ca$

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil <math>\arcsin</math> av høyresiden være lik <math>\arcsin</math> av venstresiden. Altså:

$\arcsin(\sin(bx))=\arcsin(\frac ca)$ Dette gir oss to uttrykk for <math>x</math>:

$bx=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx=\arcsin(\frac ca)$

(Se seksjonen om trigonometriske identiteter) Sinus er periodisk i <math>2\pi</math> så vi må legge til en vilkårlig multippel av <math>2\pi</math> på hver side.

<math>bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,\vee\,\pi-bx+k\cdot2\pi=\arcsin(\frac ca)\,,\,k\in\mathbb{Z}</math>

Når vi isolerer <math>x</math> på venstresiden får vi

<math>x=\frac{\arcsin(\frac ca)-k\cdot2\pi}{b}\,\vee\,x=\frac{\arcsin(\frac ca)-\pi(2k+1)}{b}\,,\,k\in\mathbb{Z}</math>

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnligninger med <math>\cos</math> og <math>\tan</math> også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

$2cos(\pi x)=1 \quad \quad \quad x\in [0, 2\pi> \\ cos( \pi x) = \frac 12 \\ \pi x = \frac{\pi}{3} +k2\pi \vee \pi x = 2\pi-\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x= \frac 13+2k \vee x=2- \frac13 +2k \\ x= \frac 13 \vee x= \frac 73 \vee x= \frac{13}{3} \vee x= \frac 53 \vee x= \frac{11}{3} \vee x= \frac{17}{3}$

$x \in${$ \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}, \frac{13}{3}, \frac{17}{3}$}

Slik ser det ut:

SIN

$sin( \frac{\pi}{4}x) = \frac 12 \quad \quad \quad x \in[0, 2 \pi> \\ \frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee \frac{\pi}{4}x = \pi - \frac{\pi}{6} +2k \pi \\ x= \frac 23 +8k \vee x = 4- \frac 23 + 8k \\ x= \frac 23 \vee x = \frac{10}{3}$

$x \in ${$ \frac 23, \frac{10}{3}$}

Slik ser det ut:

TAN

$0,3 tan(4x)= 2 \quad \quad \quad x \in [0, \frac{\pi}{2}> \\ tan(4x) = 6,667 \\ 4x = 1,42 + k \pi \\ x= 0,36 \vee x= 1,14$

$x \in ${ 0,36 , 1,14}

Slik ser det ut:

2)

$a cos^2 x + b cos x + c = 0 \quad $ eller $ \quad a sin^2 x + b sin x + c = 0$

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

<math>\sin^2x+\sin\,x-1=0\,,\,x\in[0,2\pi></math>

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>

Merk at <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}>1</math>, altså har ikke denne grunnligningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnligningen. Når vi løser denne, får vi

$x= 0,67 \vee x= 2,48$

Slik ser det ut:

$x \in${0,67 , 2,48}

3)

<math>a sin x + b cos x = 0</math>

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

$4sinx-2cosx=0 \quad \quad x \in [0, 2 \pi>\\ 4tanx-2=0 \\ tanx = \frac 12 \\ x = tan^{-1}(\frac 12) = 0,46 + k \pi \\ x= 0,46 \vee x = 3,61$

$x \in$ {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

4)

$a cos^2 x + b sin x + c = 0 \quad$ eller $ \quad a sin^2 x + b cos x + c = 0$

Ligningen løses ved å erstatte $sin^2x \quad $ med $1 - cos^2 x \quad$ eller $ cos^2 x \quad$ med $1 - sin^2 x$

Eksempel 4.

<math>\sin\,x+2cos^2x=1\,,\,x\in[0,2\pi > </math>

Vi kjenner identiteten <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math>. Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

<math>\sin\,x+2-2\sin^2x=1</math>

<math>2\sin^2x-\sin\,x-1=0</math>

Dette er en andregradslikning i $\sin\,x$, som vi kan løse:

<math>\sin\,x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}</math>

<math>\sin\,x=\frac{1+3}{4}=1 \,\vee\,\sin\,x=\frac{1-3}{4}=-\frac12</math>

<math>\sin\,x=1\,\Rightarrow\,x=\frac{\pi}{2}</math>

<math>\sin\,x=-\frac12\,\Rightarrow\,x=\frac{7\pi}{6} \,\vee\,x=\frac{11\pi}{6}</math>

$x= \frac {\pi}{2} \vee x= \frac{7 \pi}{6} \vee x= \frac{11 \pi}{6}$

$x \in${$\frac {\pi}{2}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$}

Slik ser det ut:

4)

<math>a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = 0</math>

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $cos^2 x$

Eksempel 4.

$2sin^2x+3sinxcosx - cos^2x=0 \quad x \in [0, 2\pi>\\ 2tan^2x+3tanx-1=0 \\ 2u^2+3u+1=0$

Løses så som likning 1.

Slik ser det ut:

5)

$ a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = d $

Her må konstantleddet skrives om : $d = d \cdot 1 =d(sin^2 x + cos^2 x)$ . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 5.

$4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x=3 \quad \quad x \in [0, 2\pi> \\4sin^2x+ sinx cos x - 3cos^2x = 3sin^2x + 3cos^2x \\ sin^2x + sinx cosx - 6cos^2 =0 \\ tan^2x + tanx - 6 = 0 \\ tanx = -3 \vee tanx = 2 \\ x= -1,24 +k\pi \vee x=1,11 + k\pi \\ x= 1,11 \vee x= 4,25 \vee$

6)

Likninger av typen

<math>a\sin cx + bcos cx = d</math>

Løses ved å skrive om til:

<math> Asin (cx + \varphi)=d</math> der <math>A=\sqrt{a^2+b^2}</math> og <math>\varphi</math> er gitt ved<math>\varphi = \frac ba</math> og <math>\varphi</math>ligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 6.

Eksempel:

<math>sin x + cos x = 1</math>

<math> A=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt 2 \\ a = b = 1 </math>

Vinkelen <math>\varphi</math> ligger i første kvadrant, <math>\varphi =tan^{-1}(1)= \frac {\pi}{4} </math>

Vi får

<math>\sqrt 2 sin(x + \frac \pi 4) = 1</math>

7)

$a^2\pm ab= 0 \Rightarrow a( a \pm b)= 0$

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 7.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnligninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

<math>\sin\,x\,\cos\,x-cos\,x=0\,,\,x\in [0,2\pi></math>

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på <math>\cos\,x</math>. Generellt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generellt når du deler på null eller multipliserer med null. Istedet faktoriserer vi ligningen:

<math>\cos\,x\,(\sin\,x-1)=0</math>

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må <math>\cos\,x=0</math> eller <math>\sin\,x-1=0</math>. Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnligninger.

<math>\sin\,x=1 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2}</math>

<math>\cos\,x=0 \,\Rightarrow\, x=\frac{\pi}{2} \,\vee\, x=\frac{3\pi}{2}</math>

$ x \in${$\frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2}$}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.

---