Trigonometriske likninger

Det finnes forskjellige typer trigonometriske ligninger og ofte er det forskjellige måter å løse de på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

1)

$a cos^2 x + b cos x + c = 0 \quad $ eller $ \quad a sin^2 x + b sin x + c = 0$

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 1.

<math>\sin^2x+\sin\,x-1=0\,,\,x\in[0,2\pi></math>

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>

<math>\sin\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>

Merk at <math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}>1</math>, altså har ikke denne grunnligningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnligningen. Når vi løser denne, får vi

$x= 0,67 \vee x= 2,48$

2)

<math>a sin x + b cos x = 0</math>

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

3)

<math>a cos^2 x + b sin x + c = 0</math>

Ligningen løses ved å erstatte cos2 x med 1 - sin2 x

4)

<math>a sin^2 x + b cos x + c = 0</math>

Ligningen løses ved å erstatte $sin2^x$ med $1 - cos^2 x$

Eksempel 4:

<math>\sin\,x+2cos^2x=1\,,\,x\in[0,2\pi > </math>

Vi kjenner identiteten <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math>. Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

<math>\sin\,x+2-2\sin^2x=1</math>

<math>2\sin^2x-\sin\,x-1=0</math>

Dette er en andregradslikning i <math>\sin\,x</math>, som vi kan løse:

<math>\sin\,x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}</math>

<math>\sin\,x=\frac{1+3}{4}=1 \,\vee\,\sin\,x=\frac{1-3}{4}=-\frac12</math>

<math>\sin\,x=1\,\Rightarrow\,x=\frac{\pi}{2}</math>

<math>\sin\,x=-\frac12\,\Rightarrow\,x=\frac{7\pi}{6} \,\vee\,x=\frac{11\pi}{6}</math>

$x= \frac {\pi}{2} \vee x= \frac{7 \pi}{6} \vee x= \frac{11 \pi}{6}$

5)

<math>a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = 0</math>

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med $cos^2 x$

6)

$ a sin^2 x + b sin x cos x + c cos^2 x = d $

Her må konstantleddet skrives om : $d = d \cdot 1 =d(sin^2 x + cos^2 x)$ . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 6.

<math>sin x + cos x = 1</math>

<math> A=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt 2 \\ a = b = 1 </math>

Vinkelen <math>\varphi</math> ligger i første kvadrant, <math>\varphi =tan^{-1}(1)= \frac {\pi}{4} </math>

Vi får

<math>\sqrt 2 sin(x + \frac \pi 4) = 1</math>

---