Potenslikninger

Med potensligninger menes ligninger som har et ledd med x som grunntall og et tall som eksponent.

Andregradslikninger er av denne typen, men det finnes andre.

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:

<tex>x^3 = 8</tex>

Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider.

( Dersom høyeste eksponent i ligningen er 2 og eksponentene er hele tall (2 og 1) har vi å gjøre med en andregradsligning som løses på måten som er vist i :andregradsligninger)

Dersom ligningen kun har ledd av samme grad, og disse er heltall løses ligningen ved å ordne den slik at x leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.

<tex> ax^n =b</tex>

<tex> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>

Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.

Eks:

Dersom ligningen består av flere ledd med forskjellige grader der høyeste grad er større enn to får vi normalt problemer med å løse ligningen (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har ligningen:

x6- 6x3 – 16 = 0

kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradsligning. Vi setter u = x3 (kalles substitusjon) og får:

u2 - 6u – 16 = 0

u = 8 V u = - 2

Nå går man tilbake til substitusjonen og får

x3 = 8 eller x3 = - 2

x = 2 eller x = - 1,26

Så langt har vi sett på potensligninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet.

Eksponenten som desimaltall

Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

x 1,27 = 3

Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

x 1,27 = 3

kan skrives som

Vi opphøyer begge sider i den inverse brøken og får