S2 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x} $

b)

Brukar brøkregelen med $u=x^2-1$ og $v=x$:

$$g'(x)= \frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2} =\frac{2x\cdot x - (x^2-1)\cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2-x^2+1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2} $$

c)

Brukar produktregelen til å derivere $(3x+1)\cdot e^x$:

$h'(x)=3 \cdot e^x + (3x+1) \cdot e^x = (3x+4)e^x $

Oppgave 2

a)

Jeg leser av nullpunktene på grafen:

$x=-3$, $x=-1$ og $x=3$.

Da vet vi at $(x+3)$, $(x+1)$ og $(x-3)$ er faktorer i polynomet $f(x)$.

$f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)$

b)

Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks. $x=3$.

Vi vet at $f(x)=0$ for $x=3$:

$f(3)=0 \\ 3^3 +3^2+k\cdot 3 + k =0 \\ 27 +9 +3k +k =0 \\ 4k =-36 \\ k = -9 $

Oppgave 3

a)

En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant.

$a_n - a_{n-1} = d$

b)

Av figuren ser vi at veggen er slik at $1$. rad (fra toppen) består av 1 murstein, 2. rad består av 2 murstein, 3. rad består av 3 murstein osv. Siste raden består av 20 murstein.

Summen av alle mursteinene blir da en aritmetisk rekke:

$1+ 2 + 3 + \cdots + 20 $

Differansen $d$ mellom hvert ledd er 1. $a_1 =1$ og $n=20$.

Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke:

$$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ S_{20} = \frac{1+20}{2} \cdot 20 = 210 $$

Mureren vil trenge 210 murstein til denne veggen.

Oppgave 4

a)

\begin{align*} x&=0,555 \dots \\ &= 0,5 + 0,05 + 0,005 + \dots \\ &= \frac{5}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000} + \dots \\ &= \frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \dots \end{align*}

Dette er en geometrisk rekk med $k=\frac{1}{10}$ og $a_1 = \frac{5}{10}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen

$$s=\frac{a_1}{1-k} \\ x= \frac{\frac{5}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{5}{9} $$

b)

\begin{align*} y &=0,232323 \dots \\ &=0,23 + 0,0023 + 0,000023 + \dots \\ &=\frac{23}{100}+\frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \dots \\ &=\frac{23}{10^2}+\frac{23}{10^4} + \frac{23}{10^6} + \dots \end{align*}

Dette er en geometrisk rekke med $k=\frac{1}{100}$ og $a_1=\frac{23}{100}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen:

$$s=\frac{a_1}{1-k} \\ y= \frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} =\frac{23}{99} $$

Oppgave 5

a)

$f(-1) = (-1)^3+6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) +4 = -1 + 6 - 9 +4 = 0 $

Bruker polynomdivisjon til å løse likningen $f(x)=0$.

Siden $f(x)=0$ for $x=-1$, vet vi at divisjonen $f(x):(x+1)$ går opp:

$(x^3+6x^2+9x+4):(x+1)= x^2+5x+4 $

Bruker abc-formelen til å løse likningen $x^2+5x+4=0$:

$$x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2} = \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5\pm3}{2}\\ x=-1 \vee x=-4$$

Nullpunktene til $f$ er $x=-1$ og $x=4$.

d)

Oppgave 5

a)

Når grafen skjærer y-aksen, er $x=0$.

Regner ut $f(0)$:

$$f(0)=\frac{a}{1+b\cdot e^0} = \frac{a}{1+b} $$

b)

I vendepunktet er $f' '(x)=0$.

Jeg bruker CAS i GeoGebra til å løse likningen $f' '(x)=0$. Etterpå settter jeg løsningen inn i uttrykket for $f(x)$.

c)

Stigningstallet til tangenten i punktet $V$ er lik den deriverte av $f$ i punktet $V$.

Jeg regner ut $f'(x)$, der jeg setter inn $x$-koordinaten til vendepunktet. (Som vi fant i oppg. b))