Forskjell mellom versjoner av «S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING»
Linje 41: | Linje 41: | ||
==Oppgave 4== | ==Oppgave 4== | ||
+ | |||
+ | ===a)=== | ||
+ | (Sett inn tabell) | ||
+ | |||
+ | Formel for $S_{n}$: | ||
+ | |||
+ | $S_{n}=n^3$ | ||
+ | |||
+ | ===b)=== | ||
+ | $S_n$ er summen av dei $n$ første ledda | ||
+ | |||
+ | $S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$ | ||
+ | |||
+ | $S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda: | ||
+ | |||
+ | $S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$ | ||
+ | |||
+ | Vi får at: | ||
+ | $S_n=S_{n-1}+a_n \\ | ||
+ | a_n=S_n-S_{n-1}$ | ||
+ | |||
+ | $a_n=S_n-S_(n-1) \\ | ||
+ | a_n=n^3-(n-1)^3 \\ | ||
+ | =n^3-(n-1) (n-1)^2 \\ | ||
+ | =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ | ||
+ | =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1\\ | ||
+ | =3n^2-3n+1$ | ||
==Oppgave 5== | ==Oppgave 5== |
Revisjonen fra 23. apr. 2015 kl. 10:59
DEL 1 (3 timer)
Oppgave 1
a)
$f(x)=3x^3-2x+5 \\ f'(x)=3\cdot 3x^{2}-2=9x^{2}-2$
b)
$g(x)=xe^{2x} \\ g'(x)=1⋅e^{2x}+x⋅2e^{2x}=(1+2x) e^{2x}$
Oppgave 2
Bestem $h'(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$
$h'(x)=\frac{e^x⋅(x-1)-e^x⋅1}{(x-1)^2}=\frac{xe^x-e^x-e^x}{(x-1)^2} =\frac{xe^x-2e^x}{(x-1)^2} =\frac{(x-2) e^x}{(x-1)^2} \\ h'(2)=\frac{(2-2) e^2}{(2-1)^2} =\frac{0⋅e^2}{1}=0 $
Oppgave 3
$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$
a)
$P(3)=2⋅3^3-6⋅3^2-8⋅3+24\\ =2⋅27-6⋅9-24+24\\ =54-54-24+24=0 $
b)
Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.
$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$
Faktoriserer $2x^2-8$:
$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$
$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$
c)
$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)} =(x-3)$
Oppgave 4
a)
(Sett inn tabell)
Formel for $S_{n}$:
$S_{n}=n^3$
b)
$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda
$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$
$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:
$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$
Vi får at: $S_n=S_{n-1}+a_n \\ a_n=S_n-S_{n-1}$
$a_n=S_n-S_(n-1) \\ a_n=n^3-(n-1)^3 \\ =n^3-(n-1) (n-1)^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1\\ =3n^2-3n+1$