R1 2012 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 149: Linje 149:


===b)===
===b)===
Dersom firkanten er et parallellogram er BC vektor lik AD vektor.
BC
===c)===
===c)===



Sideversjonen fra 8. nov. 2013 kl. 06:18

Diskusjon av denne oppgaven

Del 1

Oppgave 1

a)

f(x)=(2x1)2=4x24x+1

Da er

f(x)=8x4

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med 2x1 som kjerne. Vi får da

f(x)=2(2x1)(2x1)=2(2x1)2=8x4.

b)

g(x)=x22x

Vi bruker kjerneregelen med x22x som kjerne. Da har vi

g(x)=12x22x(x22x)=12x22x(2x2)=x1x22x

c)

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av x. Da benytter vi produktregelen. For å derivere e3x bruker vi også kjerneregelen. Vi får

h(x)=(x3)e2x+x3(e2x)=3x2e2x+x32e2x=x2e2x(3x+2).

Oppgave 2

a)

En polynomdivisjon p(x):(xa) går opp kun dersom p(a)=0. Her får vi da at f(3) må være 0. Det gir oss ligningen

f(3)=0  33332+k3+3=0  3k+3=0  k=1.

b)

Svaret på polynomdivisjon = x21

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

Oppgave 3

a)

Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

f(x)=x33x2x+3

f(x)=3x26x1

f(x)=6x6=6(x1)

Den dobbeltderiverte er null for x = 1. Vendepunkt: (1, f(1)) = (1, 0)

b)

Likning for vendetangent: f ' (1) = - 4

y = ax + b

Har punktet (1, 0) og setter inn:

0=41+bb=4

Dvs: y = -4x + 4

Oppgave 4

a)

x = 1 er en løsning av likningen. Elven mister en løsning ved ikke å sjekke faktoren (x-1) lik null.

b)

For å finne skjæringspunktet må man sette f(x)=g(x)

(x1)(x3)=x1

x24x+3=x1 => x25x+4=0, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; x=4 og x=1

For å finne skjæringspunktene setter man f(4) og g(1). Da finner man en y-verdi. f(4)=(41)(43) f(4)=3, noe som betyr at y=3

g(1)=11=0, noe som betyr at y=0.

Skjæringspunktene ligger i punktene (4,3) og (1,0)

Oppgave 5

a)

AB=vAD=uAC=u+vBD=uvACBD=(u+v)(uv)u2v2=0

Siden skalarproduktet mellom vektorene er null, står de vinkelrett på hverandre.

b)

AABCD=AABC+AACD12ACFB+12ACDF12AC(FB+DF)12ACBD

Oppgave 6

a)

34x+7=3434x=2734x=33lg34x=lg334x=3x=34

b)

lg(x)+lg(x1)=lg2x>1lg(x2x)=lg2x2x=2x2x2=0x=1±1+82x=1x=2

Oppgave 7

a)

Vinkel er 90 grader kun når skalarproduktet mellom vinkelbeina er null, bare da.

Dvs: ABAC=0

AB=[73,30]=[4,3]AC=[03,t0]=[3,t]ABAC=04(3)+3t=0t=4BAC=90nårt=4

b)

Avstanden fra punktet A (3,0) til vektoren BC = [-7,1] :

Korteste vei fra A til BC er til et punkt D på BC som er slik at AD er normalt på BC.

AD=AB+kBCAD=[4,3]+k[7,1]AD=[7k+4,k+3]ADBC[7k+4,k+3][7,3]=049k28+k+3=050k=25k=12AD=[712+4,12+3]=[12,72]|AD|=14+494=5+2=522

Avstanden fra A til BC er fem halve kvadratroten av to.

DEL 2

Oppgave 1

a)

AC=[4,4]|AC|=42+42=32AB=[6,0]|AB|=6ABAC=04+64=24

Skalarprodukt:

ABAC=|AB||AC|CABCAB=vecABAC|AB||AC|=24632=12=22CAB=45

b)

Dersom firkanten er et parallellogram er BC vektor lik AD vektor.

$ \vec{BC} $

c)

Oppgave 2

a)

Gutter Jenter Totalt
Buss 71 94 165
Ikke Buss 111 74 185
Total 182 168 350

Sannsynlighet for jente og buss:

P(JB)=94350=0,27

b)

Sannsynlighet for buss:

P(B)=165350=0,47

Sannsynlighet for buss når man vet at eleven er jente:

P(B|J)=94168=0,56

P(B)P(B|J) derfor er hendelsene B og J avhengige.

c)

P(J|B)=94165=0,57

Her kunne man også brukt Bayes' formel, men siden alle tall er oppstilt i krysstabellen er regning ikke nødvendig.

Oppgave 3

a)

r(t)=[14t23t,t+4t5],t∈<0,20]

b)

c)

Oppgave 4

a)

b)

c)

Oppgave 5

a)

b)

Oppgave 6

a)

b)

c)