2P 2013 vår ny LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

Finn median:

Sorterer observasjonene: $1_{(1)} \;\; 1_{(2)} \;\; 1_{(3)} \;\; 2_{(4)} \;\; 2_{(5)} \;\; 3_{(6)} \;\; 3_{(7)} \;\; 4_{(8)} \;\; 5_{(9)} \;\; 5_{(10)}$

Finner antall observasjoner: $N = 10$

Finner midtpunktet: ${N + 1 \over 2} = {10 + 1 \over 2} = 5.5$

Fordi det er et partall antall observasjoner er medianen lik gjennomsnittet av de to verdiene som ligger på hver sin side av midtpunktet

Medianen er gjennomsnittet av verdiene nummer 5 og 6. ${2 + 3 \over 2 }= 2.5$

Finner gjennomsnitt:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S=1+5+3+3+5+2+1+4+1+2=27$

Finner antall observasjoner: $N=10$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {27 \over 10} = 2.7$

Finn typetall:

Teller opp verdiene og lager en frekvenstabell:

Verdi $x$	Frekvens $f$
$1$	$3$
$2$	$2$
$3$	$2$
$4$	$1$
$5$	$2$

Ser i tabellen og finner de hyppigst forekommende verdiene

Typetall(ene) er: 1

b)

Verdi x	Frekvens f	Kumulativ frekvens
1	3	3
2	2	3+2 = 5
3	2	5+2 = 7
4	1	7+1 = 8
5	2	8 + 2 = 10

Oppgave 2

$0,075 \cdot 2000000 = (7,5 \cdot 10^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^6) = = 7,5 \cdot 2 \cdot 10^{-2+6} = 15 \cdot 10^{4} = 1,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{4} =1,5 \cdot 10^{5}$

Oppgave 3

A: $\frac{15 \cdot 5^{-1}}{2^2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5^{-1}}{2^2} = \frac{3}{4} $

B: $\frac{1}{6^{-2}\cdot 3 \cdot 15} = \frac{6^2}{ 3 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{36}{ 9 \cdot 5} = \frac{36}{ 9} \cdot \frac{1}{5} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Fordi $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$ har brøken B størst verdi.

Oppgave 4

a)

Tilbud 1: $y = 5x + 100$

Tilbud 2: $y = 10x + 50$

b)

Ettersom dette er del 1 av eksamen, må denne grafen skisseres for hånd, men jeg bruker her Graph

Ser av grafen at det lønner seg for Sigvald med tilbud 1 dersom han vasker opp mindre enn 10 ganger i uka. Vi vet ikke hvor ofte de vasker opp i familien, men hvis de for eksempel vasker opp en gang om dagen, så lønner det seg for Sigvald med Tilbud 1.

Oppgave 5

Plassverdisystem med grunntall 10	Plassverdisystem med grunntall 2
$43$	$101011_2$
$26$	$11010_2$

Konverterer $101011_{(2)}$ til 10-tallsystemet:

${{\color{red}{1}\cdot 2^{5}+\color{red}{0}\cdot 2^{4}+\color{red}{1}\cdot 2^{3}+\color{red}{0}\cdot 2^{2}+\color{red}{1}\cdot 2^{1}+\color{red}{1}\cdot 2^{0}} = \\{32+0+8+0+2+1}} = {\color{red}{ \underline{ \underline{43_{(10)} } } }}$

Konverterer $26_{(10)}$ til 2-tallsystemet:

${{\color{red}{1}\cdot 2^{4}+\color{red}{1}\cdot 2^{3}+\color{red}{0}\cdot 2^{2}+\color{red}{1}\cdot 2^{1}+\color{red}{0}\cdot 2^{0}} = \\{16+8+0+2+0}} = {\color{red}{ \underline{ \underline{26_{(10)} } } }}$

Oppgave 6

a)

$f(x) = 100 000 \cdot 0,9^x$

b)

Graf C tilhører f.

Vi ser at graf A er en rett linje, men $f(x)$ er en eksponensialfunksjon.

Graf C synker raskest i starten, men etterhvert som bilen blir billigere så går den mindre ned i verdi hvert år. Prisen synker med 10% hvert år, og det blir 10% av et mindre og mindre beløp.

Oppgave 7

Inntekt (i 1000 kroner)	Klassemidtpunkt $x_m$	Antall personer$f$	Klassesum $f \cdot x_m$
$[300 , 400\rangle $	$350$	$20$	$7000$
$[400 , 500\rangle $	$450$	$20$	$9000$
$[500 , 700\rangle $	$600$	$10$	$6000$
		$N=50$	$S=22000$

Gjennomsnittet er omtrent: $ g = \frac{S}{N} = {\frac{22000}{ 50}} = {440}$

Del 2

Oppgave 1

a)

Bruker Excel for å tegne sektordiagrammet..

b)

Oppgave 4

a)

Vinnertid 1968: 123.4

Vinnertid 2010:105,57

$\frac{105,57}{123,4} = 0.86$

$1 - 0.86 = 0.14$

Vinnertiden sank med 14% fra 1968 til 2010.

b)

Bruker 2P-kalkulatoren. Funksjon: Verdiliste => Gjennomsnitt.

Gjennomsnitt1968: 125.06 sekunder

Gjennomsnitt 2010: 106.36 sekunder

Utregning for gjennomsnitt 1968 (ikke nødvendig å vise for å få full uttelling på oppgaven):

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 123.4 + 125 + 125 + 125.1 + 125.2 + 125.2 + 125.5 + 126.1 = 1\space 000.5$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {1\space 000.5 \over 8} = 125.06$

Utregning for gjennomsnitt 2010 (ikke nødvendig å vise for å få full uttelling på oppgaven):

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 105.57 + 106.1 + 106.13 + 106.42 + 106.47 + 106.69 + 106.76 + 106.77 = 850.91$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {850.91 \over 8} = 106.36$

c)

Bruker 2P-kalkulatoren. Funksjon: Verdiliste => Standardavvik.

Standardavvik 1968: 0.714 sekunder

Standardavvik 2010: 0.387 sekunder

Årsaken til at standardavviket er større i 1968 enn i 2010 er at det er større forskjell mellom de beste og de dårligste i 1968 enn i 2010. Det er er jevnere og høyere nivå i 2010. Det er spesielt 2 løpere som skiller seg ut i 1968: Kees Verkerk og Eduard Matusevitsj. Verkerk er mye bedre enn de andre, og Matusevitsj er mye dårligere enn de andre. Hvis vi fjerner disse to fra resultatlista, så vil forskjellen i standardavviket bli en del mindre.

Utregning for standardavvik 1968 (ikke nødvendig å vise): Finner først gjennomsnittet:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 123.4 + 125 + 125 + 125.1 + 125.2 + 125.2 + 125.5 + 126.1 = 1\space 000.5$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {1\space 000.5 \over 8} = 125.06$

Bruker gjennomsnittet for å regne ut variansen:

Verdi $x$	$(x-g)^2$
$123.4$	$(123.4-125.06)^2 = (-1.66)^2 = 2.76$
$125$	$(125-125.06)^2 = (-0.06)^2 = 0.00391$
$125$	$(125-125.06)^2 = (-0.06)^2 = 0.00391$
$125.1$	$(125.1-125.06)^2 = 0.0375^2 = 0.00141$
$125.2$	$(125.2-125.06)^2 = 0.137^2 = 0.0189$
$125.2$	$(125.2-125.06)^2 = 0.137^2 = 0.0189$
$125.5$	$(125.5-125.06)^2 = 0.437^2 = 0.191$
$126.1$	$(126.1-125.06)^2 = 1.04^2 = 1.08$
	$A= 4.08$

Variansen er: $ \frac{A}{ N}=\frac{4.08}{ 8}=0.51$ Bruker variansen for å regne ut standardavvik

Standardavviket er: $ \sqrt{\text{Variansen}} = \sqrt{0.51} = 0.714$

Utregning for standardavvik 2010 (ikke nødvendig å vise):

Finner først gjennomsnittet:

Finner summen av observasjonsverdiene: $S = 105.57 + 106.1 + 106.13 + 106.42 + 106.47 + 106.69 + 106.76 + 106.77 = 850.91$

Finner antall observasjoner: $N = 8$

Gjennomsnittet er da: ${S \over N} = {850.91 \over 8} = 106.36$

Bruker gjennomsnittet for å regne ut variansen

Verdi $x$	$(x-g)^2$
$105.57$	$(105.57-106.36)^2 = (-0.79)^2 = 0.63$
$106.1$	$(106.1-106.36)^2 = (-0.26)^2 = 0.0696$
$106.13$	$(106.13-106.36)^2 = (-0.23)^2 = 0.0546$
$106.42$	$(106.42-106.36)^2 = 0.0563^2 = 0.00316$
$106.47$	$(106.47-106.36)^2 = 0.106^2 = 0.0113$
$106.69$	$(106.69-106.36)^2 = 0.326^2 = 0.106$
$106.76$	$(106.76-106.36)^2 = 0.396^2 = 0.157$
$106.77$	$(106.77-106.36)^2 = 0.406^2 = 0.165$
	$A= 1.2$

Variansen er: $ \frac{A}{ N}=\frac{1.2}{ 8}=0.15$

Bruker variansen for å regne ut standardavvik

Standardavviket er: $ \sqrt{\text{Variansen}} = \sqrt{0.15} = 0.387$

Oppgave 5

a)

Bruker programmet Graph Bruker funksjonen: "Sett inn punktliste".

b)

Bruker funksjonen: "Sett inn trendlinje" => Lineær.

Finner at funksjonen $f(x) = 2.9 x + 102$ passer godt med punktene fra oppgave a.

c)

Bruker funksjonen: Sett inn funksjon y=38. Beregn => "lås til skjæringspunkt"

Ser at dorullen er tom når man har brukt 21.6 meter. Dorullen inneholder altså 21.6 meter papir.

d)

$160 \text{ark.} \cdot 14 \text{cm} =160 \cdot 0.14 m = 22.4 \text{meter}$

Modellen sier at det er 21.6 meter på rullen. Det som står på pakken og modellen stemmer altså godt.

Oppgave 6

a)

I en lineær modell synker verdien med et fast beløp hvert år. I oppgaven står det at det årlige verditapet er 25780 kr dermed er det en lineær modell. For å kontrollere kan vi se at fra 2006 til 2011 er det 5 år. $25780 kr \cdot 5 = 128900 kr$ som er oppgitt som det totale verditapet.

Modellen er: $f(x) = 299990 - 25780x$

b)

Løsningsalternativ 1

Forsøker meg fram på kalkulatoren for å finne det årlige verditapet. Vet at prisen etter 5 år er $299990 \cdot k^5$ og forsøker med forskjellige verdier for k.

$299990 \cdot 0.88^5 = 158314 kr$

$299990 \cdot 0.89^5 = 167516 kr$

$299990 \cdot 0.90^5 = 177141 kr$

Ser at vekstfaktoren som passer best er mellom 0.89 og 0.90. Bruker 0.89. Da er den prosentvise nedgangen på $1 - 0.89 = 0.11 = 10%$

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.89^x$

Løsningsalternativ 2 Bruker Graph, og setter inn de to kjente punktene, og bruker så funksjonen "sett inn trendlinje" for å finne en eksponentialfunksjon som passer til observasjonene.

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.893^x$

Løsningsalternativ 3

$299990 \cdot x^5 = 171000$

$x^5 = {171000 \over 299990 }$

$x^5 = 0.57$

$x = \sqrt[5]{0.57}=0.893$

Den eksponentielle modellen er da $f(x) = 299990 \cdot 0.893^x$

c)

Den lineære modellen: $f(8) = 299990 - 25780 \cdot 8 = 93750 kr$

Den eksponentielle modellen: $f(8) = 299990 \cdot 0.89^x = 118094 kr$