S2 2013 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 142: Linje 142:


'''(1)''': Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.
'''(1)''': Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.
'''(3)''': Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.
'''(3)''': Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.
'''(4)''': Også her dekker området fra <math>x = 7<math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.
 
'''(4)''': Også her dekker området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.


Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.
Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.


==DEL TO==
==DEL TO==

Sideversjonen fra 22. mai 2013 kl. 10:23

Oppgaven som pdf

DEL EN

Oppgave 1

a)

Benytter produktregelen:

<math>f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).</math>

b)

Her bruker vi brøkregelen:

<math>\begin{eqnarray*} g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2} \end{eqnarray*}.</math>

Oppgave 2

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen <math>p(x) : (x-a)</math> går opp dersom <math>p(a) = 0</math>.

a)

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

<math>3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.</math>

b)

Her må <math>x-b</math> være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi <math>x^2 - 3x - 4</math>, f.eks. med ABC-formelen, får vi at

<math>x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).</math>

Da må <math>x-b = x+1</math> eller <math>x-b = x-4</math>, som gir at <math>b = -1</math> eller <math>b = 4</math>. En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn <math>b</math> i polynomet <math>x^2 - 3x - 4</math>, så får vi 0. Da får vi:

<math>b^2 - 3b - 4 = 0,</math>

og løser vi denne får vi de samme verdiene for <math>b</math>.

Oppgave 3

Denne rekken har formen

<math>a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...</math>

Kvotienten til rekken er <math>k = -0.1</math>. Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de <math>n</math> første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

<math>\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).</math> (I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

<math>\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.</math>

Oppgave 4

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

<math>x = 13 + z - y.</math>

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

(1) <math>2(13 + z - y) + y + z = 27 \ \Leftrightarrow \ 26 + 3z - y = 27 \ \Leftrightarrow \ 3z - y = 1.</math>

og

(2) <math>(13 + z - y) - 3y - 2z = -9 \ \Leftrightarrow \ 13 - z - 4y = -9 \ \Leftrightarrow \ 4y + z = 22.</math>

Disse to ligningene har da kun to ukjente, <math>x</math> og <math>y</math>, og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra (1) får vi at <math>y = 3z - 1</math>. Setter vi det inn i (2) får vi

<math>4(3z - 1) + z = 22 \ \Leftrightarrow \ 13z = 26 \ \Leftrightarrow \ z = 2.</math>

Da er <math>y = 3z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5</math> og <math>x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10</math>. Løsningene er altså <math>x = 10, \ y = 5, \ z = 2</math>.

Oppgave 5

a)

<math>f^\prime(x) = 3x^2 - 12x + 9</math>

Vi faktoriserer <math>f`^\prime(x)</math> (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

<math>f^\prime(x) = 3(x-1)(x-3).</math>

Da er <math>f^\prime(x) = 0</math> når <math>x = 1</math> eller <math>x = 3</math>. Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til <math>x = 1</math>, så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for <math>x < 1</math>. Mellom <math>x = 1</math> og <math>x = 3</math> er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for <math>x > 3</math>. Til sammen forteller dette oss at <math>x = 1</math> er et topp-punkt og <math>x = 3</math> er et bunnpunkt.

b)

<math>f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x-2).</math>

<math>f^{\prime \prime}(x)</math> er lik <math>0</math> og skifter fortegn i <math>x = 2</math>. Dermed må <math>x = 2</math> være et vendepunkt.

c)

Ingen skisse for øyeblikket.

Oppgave 6

a)

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av <math>P(X = x)</math> for alle verdier av <math>x</math> være lik 1. Det gir oss:

<math>2p + p + 3p + 0.3 + p = 1 \ \Leftrightarrow \ 7p = 1 - 0.3 = 0.7 \ \Leftrightarrow \ p = 0.1.</math>

b)

Forventningsverdien <math>E(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*} E(X) &=& x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + ... + x_5 P(X = x_5)\\ &=& 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3\cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2. \end{eqnarray*}</math>

Forventningsverdien for X er altså <math>X = 2</math>.

Variansen <math>Var(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*} Var(X) &=& (x_1 - E(X))^2 P(X = x_1) + (x_2 - E(X))^2 P(X = x_2) + ... + (x_5 - E(X))^2 P(X = x_5)\\ &=& (0 - 2)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2)^2 \cdot 0.1 + (2 - 2)^2 \cdot 0.3 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1\\ &=& 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6 \end{eqnarray*}</math>.

Oppgave 7

a)

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at <math>X_1</math> og <math>X_2</math> svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens <math>X_3</math> og <math>X_4</math> svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må <math>X_1</math> ha grafen (4), <math>X_2</math> ha grafen (3), <math>X_3</math> ha grafen (2) og <math>X_4</math> ha grafen (1).

b)

Sannsynligheten <math>P(7 < X < 14)</math> er lik arealet under kurven mellom <math>x = 7</math> og <math>x = 14</math>. Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at <math>P(7 < X < 14) = 0.75</math> for hver av dem.

(1): Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.

(3): Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

(4): Også her dekker området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

DEL TO