Bevisføring fasit

Fasit til oppgavene i Bevisføring.

1

Hypotese: Summen av to partall blir et oddetall

Vi ser at 2 + 2 = 4. 4 er et partall, og vi har motbevist hypotesen.

2

Hypotese: Produktet av to oddetall blir et oddetall.

Vi har to tilfeldige, hele tall, <math>k, n</math>. Vi har da to oddetall <math>2k+1, 2n+1</math>.

<math>(2k+1)(2n+1) \;=\; 4kn + 2k + 2n + 1 \;=\; 2(2kn + k + n) + 1</math>.

Setter vi <math>m = 2kn + k + n</math>, får vi at produktet er <math>2m + 1</math> som vi ser er et oddetall.

Beviset er fullført.

3

Hypotese: Summen av tre oddetall blir et oddetall.

For tre vilkårlige tall <math>a,b,c</math>, har vi tre oddetall <math>2a+1,\;2b+1,\;2c+1</math>.

Vi summerer tallene. <math>2a+1+2b+1+2c+1 \;=\; 2a+2b+2c+3</math>.

Her er tretallet litt forvirrende, men husk at målet vårt er å få det på formen <math>2m + 1</math>.

Observer at <math>2a+2b+2c+3 \;=\; 2a+2b+2c+2+1 = 2(a+b+c+1) + 1 \;=\; 2m + 1</math> der <math>m=a+b+c+1</math>.

Vi har at summen av tre oddetall blir et oddetall, og hypotesen er bevist.